Teoria 1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Równowaga względna.
Występuje, gdy siła bezwzględna jest równoważona przez siłę unoszenia. Zakładamy, że punkt znajduje się w
równowadze względem układu ruchomego, który porusza się względem innego układu mającego cechy układu
Galileusza.
Równanie ruchu punktu względem układu ruchomego
mp
W
= F - mp
U
- mp
C
w przypadku równowagi w=0 pw=0 pc=0 Równanie równowagi względnej
F - mp
U
= 0 F + F
U
= 0
2. Przyspieszenie Coriolisa.
P.C. jest to przyspieszenie wynikające z ruchu unoszenia
p
C
=2
×w.
P.C. jest równe podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej i prędkości względnej, jest
prostopadłe do wektorów
i w
p
C
=2
wsin
gdzie
kąt między wektorami w i
. Zwrot tego przyspieszenia wynika z przyjętego przez nas zwrotu,
określonego przez prawoskrętny prostokątny układ współrzędnych.
P.C. jest równe 0 gdy:
(1) ruch unoszenia jest postępowy
=0,
(2) w pewnej chwili prędkość względna punktu jest równa 0 w=0,
(3) prędkość względna punktu jest równoległa do osi obrotu układu ruchomego sin
=0
=0 (ruch śrubowy).
P.C. występuje gdy układ unoszenia dokonuje obrotu. Występuje, gdy punkt znajduje się w początku ruchomego
układu wsp. Np. ruch obrotowy ziemi powoduje powstawanie przyspieszenia coriolisa.
3. Przyspieszenie unoszenia
P.U. jest to przyspieszenie złożone z przyspieszenia punktu ruchomego oraz przyspieszenia stycznego i
normalnego
p
U
=p
A
+p
UT
+p
UN
p
A
=dV
A
/dt
p
UT
=
×
p
UN
=
×(
×
)
p
U
= p
A
+
×
+
×(
×
)
4. Równanie dynamiki ruchu względnego (Człowiek w jadącym tramwaju, itp. )
Dynamiczne równania ruchu p.m. w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod
warunkiem, że do siły
F
B
dodamy siłę unoszenia
F
U
= -mp
U
i Coriolisa
F
C
= -mp
C
.
F
W
=F+F
U
+F
C
F
U
= -mp
U
- siła bezwładności unoszenia
F
C
= -mp
C
- siła bezwładności Coriolisa
mp
W
= F -mp
U
-mp
C
równowaga względna układu: prędkość względna i przyspieszenie względne jest równe 0
w = 0 p
w
= 0
F – mp
u
= 0
5. Uderzenie punktu mat o przegrodę.
Punkt uderzenia o powierzchnię przegrody będącej w spoczynku z prędkością v1 której kierunek tworzy kąt α
(padania) z normalną powierzchni przegrody. Po uderzeniu punkt odbija się i porusza się z prędkością v2 tworząc kąt β
(odbicia) z normalną. W trakcie zderzenia wystąpi reakcja mająca charakter siły zderzeniowej
mV
2
cos
+ mV
1
cos
= J
RN
mV
2
sin
– mV
1
sin
= 0 J
RT
=0
J – impuls reakcji normalnej.
J
RT
= hipoteza idealności więzów
Współczynnik restytucji – stosunek bezwzględnych wartości normalnych składowych prędkości po i przed
zderzeniem i jest niezależny od prędkości i wymiarów ciał zderzających się tylko od materiałów, z których są wykonane.
k = V
2n
/V
1n
k = v
2
cos
/v
1
cos
Przy uderzeniu idealnie sprężystym k = 1 przy plastycznym k = 0.
6. Współczynnik restytucji przy zderzeniu dwóch kul
W.R. jest to stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości względne mają różne
znaki gdyż kule przed zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu oddalają się od siebie
K=
V
12
–V
22
/V
11
–V
21
7. Prawo zmienności pędu w postaci całkowej.
Przyrost pędu układu w przeciągu pewnego czasu = sumie impulsów wektora głównego sił zew i wektora
głównego reakcji w przeciągu tego czasu.
B-B
0
=
(t-t
0
) Sdt +
(t-t
0
) Rdt
Prawo zmienności pędu pozwala na wyciagnięcie ogólnych wniosków dotyczących ruchu układu:
dB=0 B= const
B
X
=C
X
B
Y
=C
Y
B
Z
=C
Z
– rów skalarowe pędu
8*. Ruch ciała sztywnego pod działaniem sił zderzeniowych
Uderzenie jest to suma impulsów sił zderzeniowych J oraz reakcji zderz R jeżeli ciało nie jest swobodne.
Moment główny impulsów sił zderzeniowych-L, a moment reakcji – H Ruch ten bada się za pomocą prawa zmienności
pędu i krętu.
B
2
-B
1
=J+R,
K
2
-K
1
=L+H
2-po zderzeniu, 1-przed. Rzutując te równania na osie układu współrzędnych. Otrzymamy równania określające
przyrosty prędkości postępowej i kątowej ciała wywołanej impulsami sił zderzeniowych: m.(x’
2
-x’
1
)=J
X
+R
X
itd.
9. Środek uderzenia
Jest to punkt, w którym nie zaobserwuje się wstrząsu wywołanego uderzeniem ciała. Współrzędna tego punktu:
y
a
=k
x
2
/y
c
Uderzenie nie wywoła wstrząsu, jeżeli:
(1) kierunek jego jest prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu i środek masy,
(2) Oś obrotu jest osią główną punktu będącego rzutem punktu uderzenia na oś obrotu oraz
(3) punkt uderzenia leży w odległości danej od osi obrotu. Wykorzystuje się to przy projektowaniu narzędzi i
maszyn.
 10. Rozpraszanie en. Kinetycznej przy zderzeniu.
Punkt uderza w przegrodę prostopadle do jej powierzchni
=
=0 k=v2/v1 v2=kv1. Różnica energii kinetycznej
po i przed zderzeniem wynosi
E2-E1= 0.5m(V
2
2
– V
1
2
) = 0.5 mV
1
2
cos
2
(1+k)
Następuje więc ubytek energii kinetycznej tym większy im mniejszy jest współczynnik restytucji. W przypadku
zderzenia plastycznego cała energia kinetyczna zostaje stracona. W przypadku uderzenia idealnie sprężystego nie ma
straty energii. W przypadku częściowo sprężystego zderzenia część energii kinetycznej zostaje stracona, zamienia się w
ciepło.
11,12. Energia kinetyczna ciała sztywnego względem dowolnego punktu i środka masy. (tw. Koniga).
E=0.5 (mV
2
C
+ I
lc
2
)
Energia kinetyczna jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego z prędkością środka masy i energii
ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy. Energia kinetyczna ciała składa się więc z dwóch części.
Pierwsza to energia ruchu postępowego ciała z prędkością środka masy. Jeżeli prędkość środka masy = 0, to ruch bryły
jest chwilowym ruchem obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy. Druga część wzoru przedstawia więc
energię kinetyczną w ruchu obrotowym.
13. Niewyrównoważenie statyczne i dynamiczne ciała sztywnego.
W maszynach zawierających elementy wirujące występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska, co
wywołuje drgania.
Dynamiczne – występują gdy środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz oś ta nie jest osią główną,
ponieważ przy wykonywaniu elementu nie zawsze da się to spełnić, więc każdy element jest poddawany sprawdzeniu.
Dodając lub odejmując masę można wpłynąć na położenie środka masy i rozkład momentów bezwładności –
wyrównoważenie.
14. Reakcje dynamiczne łożysk.
Jeżeli środek masy ciała leży na osi obrotu i jednocześnie oś ta jest osią główną ciała dla dowolnego jej punktu to
reakcje dynamiczne są równe 0. Reakcje dynamiczne występują, jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży na osi
obrotu oraz jeżeli oś ta nie jest osią główną.
Do reakcji statycznych wynikających z obciążenia siłami dochodzą reakcje dynamiczne konieczne do utrzymania
ciała w określonym ruchu obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian pędu i krętu ciała. Gdy oś obrotu nie przechodzi
przez środek masy ciała występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska. Siła ta przenosząc się na elementy
fundamentu wywołuje drgania.
15. Zjawisko żyroskopowe.
Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły obrotowej obracającej się szybko wokół swej osi symetrii. Oś obrotu
oprócz prędkości kątowej
1
ma jeszcze prędkość kątową
2
wokół osi Z przechodzącej przez środek masy O. Ciało
wykonuje ruch kulisty i ruch ten jest precesją regularną. Dla wywołania ruchu przykładamy moment sił zewnętrznych
M
O
. Zakładamy, że
2
obrotu osi wirującej jest dużo mniejsza od
1
obrotu własnego a więc kręt nie zależy od
2
tylko
od
1
i leży na osi obrotu własnego.
Moment żyroskopowy:
M
A
= I
X
1
x
2
Żyroskop wykorzystywany jest jako wskaźnik położenia i zmian kierunku ruchu oraz do sterowania ruchem
obiektów ruchomych. W tym celu zostaje on zamocowany w przegubach umożliwiających swobodny ruch żyroskopu
względem obiektu ruchomego. Stosowany w samolotach (sztuczny horyzont) statki (stabilizacja)
16. Równanie ruchu punktu o zmiennej masie – równanie Mieszczerskiego.
v-prędkość punktu
u-prędkość dołączającej się cząstki
u – v = w
17. Równanie ruchu punktu materialnego o zmiennej masie w postaci II prawa Newtona
Gdy prędkość względna dołączającej się masy jest równa zero
w=0
Równanie ma formalnie postać identyczną z równaniem ruchu punktu o stałej masie, z tym że masa jest funkcją
czasu.
18. Kiedy równanie Mieszczerskiego ma postać II prawa Newtona
Gdy prędkość bezwzględna dołączającej się masy jest równa u=0. Otrzymujemy
d/dt(mv)=F.
19. Zdefiniować przyrost przygotowany, współrzędną uogólnioną i siłę uogólnioną.
Współrzędne uogólnione- niezależne wsp. których liczba jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia
układu (3n-k) Mogą to być wsp kątowe bądź liniowe. Liczba wsp uogólnionych jest najmniejszą potrzebną do określenia
położenia i ruchu. Min liczbę wsp potrzebną do określenia położenia układu nazywamy liczba stopni swobody S=3n-k.
Siła uogólniona - wielkość, która pomnożona przez przyrost przygotowany wsp uogólnionej daje wartość pracy
wykonanej przez układ sił działających na dany układ materialny na przesunięciach przygotowanych wywołanych
przyrostem wsp uogólnionej
20. Zasda d’Lamberta, sformuowanie i zastosowanie.
Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz wektorów
(-mipi) i przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0.
(F
i
+R
i
+W
i
-m
i
p
i
)
r
i
=0.
Do badania ruchu układu swobodnego pod działaniem sił zewnętrznych może być zastosowana zasada:
Układ sił zewnętrznych działających na punkty układu materialnego swobodnego równoważy się w każdej chwili
z układem sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0
Dla układu nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił zewnętrznych
działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem równoważnym 0. S+SB+R=0
MO+MBO+HO=0
21. Określenie przemieszczenia przygotowanego i pracy przygotowanej.
Przesunięciem przygotowanym nazywamy takie dowolnie pomyślane przez obserwatora przesunięcie będące
jednym z przesunięć możliwych niezwiązane ani z działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na punkt materialny działa
siła F
I
to po nadaniu punktom przesunięcia przygotowanego
r
I
zostanie wykonana praca elementarna
L
I
=F
I
r
I
Pracę elementarną siły na przesunięciu przygotowanym nazywamy pracą przygotowaną. W położeniu równowagi
układu suma prac przygotowanych wszystkich sił zew i reakcji = 0. Zasada ta przedstawia warunek konieczny i
dostateczny równowagi układu mechanicznego. Zastosowanie – dla dowolnych układów materialnych
22. Zderzenia proste, centralne
Przy zderzeniu dwóch ciał powierzchnie tych ciał zetkną się w jednym punkcie. Punkt A 1 ciała zetknął się z
punktem D 2 ciała. Powierzchnie tych ciał w punkcie zetknięcia mają wspólną normalną (linia zderzenia). Prędkość
względna punktu A w stosunku do punktu D jest równa i przeciwna prędkości względnej punktu D w stosunku do punktu
A. Jeżeli te prędkości względne są położone na linii zderzenia to zderzenie nazywamy
prostym
w przeciwnym razie
ukośnym
. Przy zderzeniu prostym siły chwilowe działają na linii zderzenia. Jeżeli linia zderzenia przechodzi przez
środek masy ciała to zderzenie nazywamy
centralnym
w odróżnieniu od zderzenia
mimośrodowego
w przypadku
przeciwnym.
23. Zderzenie dwóch kul
Zakładamy, że dwie kule o masach m
1
i m
2
poruszają się ruchem postępowym z prędkościami v
11
i v
12
przed
zderzeniem tak, że torem środka masy każdej z nich jest prosta, na której znajdują się ich środki O
1
i O
2
. Aby zderzenie
było możliwe v
11
-v
12
>0. Rzut wektora pędu na oś x wobec braku sił zewnętrznych jest stały. Po uderzeniu kule zaczną
poruszać się z prędkościami v
12
i v
22
skierowanymi także wzdłuż osi x.
Stałość pędu oznacza, że pęd układu po i przed zderzeniem jest taki sam
m
1
v
12
+m
2
v
22
= m
1
v
11
+m
2
v
21
Stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem jest równy współczynnikowi restytucji
k=
v
12
-
v
22
/
v
11
-
v
21
Przy zderzeniu plastycznym k=0 przy idealnie sprężystym k=1.
24. Co to jest ruch kulisty bryły. Precesja regularna.
Ruch kulisty ciała sztywnego występuje, gdy jeden z punktów układy związanego z ciałem jest nieruchomy.
Ruch ten jest ruchem o trzech stopniach swobody. K’=M. (można zrzutować na osie x,y,z w układzie nieruchomym). W
układzie ruchomym K’^+
xK
0
=M
0
Precesja regularna jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała, w którym prędkości kątowe obrotu
własnego i precesji są stałe
’=
1
=const
’=
2
=const a prędkość kątowa nutacji jest równa 0, więc kąt nutacji jest stały
’=0
=
0=const Ruch ten cechuje się tym, że ciało obraca się wokół osi własnej
z prędkością kątową
1
a oś ta
obraca się wokół osi stałej
Z
z prędkością kątową
2. Kąt między osiami jest stały. Stałe prędkości oznaczają, że kąty
i
zmieniają się w sposób jednostajny. Ruch opisany jest równaniami ruchu
=
1
t
=
2
t
=
0
przy założeniu, że w chwili początkowej t=0 kąty
i
są równe 0
=
1
+
2
25. Równanie ruchu rakiety
Ruch rakiety w czasie działania silnika rakietowego jest ruchem ciała o zmiennej masie, podczas którego
następuje wypływ gazów spalinowych z dyszy silnika z prędkością względną uzyskiwaną w wyniku spalania paliwa.
Zakładamy, że prędkość względna gazów jest styczna do trajektorii oraz prędkość względna gazów jest stała w=u-v=-w
[ Pobierz całość w formacie PDF ]