Teoria sterowania

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Równania dynamiczne
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Transformata Laplace’a pozwala na przekształcenie równania różniczkowego opisującego liniowy
i stacjonarny układ fizyczny na równanie algebraiczne wyrażone w zależności od zmiennej zespolonej
s
. Wykorzystując to równanie algebraiczne można uzyskać transmitancję wyrażającą zależność
pomiędzy wejściem i wyjściem układu. Metoda ta jest bardzo użyteczna w projektowaniu i analizie
układów i pozwala na zastosowanie schematów blokowych do wyrażenia powiązanych ze sobą
elementów składowych układu.
Duża dostępność i łatwość użycia komputerów cyfrowych pozwala na szybkie rozwiązywanie
problemów sterowania opisanych w dziedzinie czasu. Poza tym techniki stosowane w dziedzinie czasu
mogą być zastosowane do układów nieliniowych, niestacjonarnych i wielowymiarowych. Dziedzina
czasu wyraża odpowiedzi i opis układu w zależności od czasu
t
. Opis w dziedzinie czasu jest podstawą
nowoczesnej teorii sterowania i optymalizacji układów.
Fizyczny układ dynamiczny może być opisany równaniem różniczkowym
n
2. ZMIENNE STANU UKŁADU DYNAMICZNEGO
Analiza i projektowanie układów sterowania w dziedzinie czasu wykorzystuje koncepcję stanu układu.
Stan układu jest zbiorem takich zmiennych, które pozwalają przewidzieć przyszłe wartości stanów
i wyjścia układu na podstawie wiedzy o tych zmiennych, funkcjach wejściowych i równaniach
opisujących dynamikę układu. Dla układu dynamicznego, stan układu opisany jest w zależności od
zbioru zmiennych stanu
1
(
t
),
x
2
(
),...,
x
(
t
)
y
1
t
)
oraz
y
2
t
)
są sygnałami wyjściowymi, natomiast
u
1
t
)
oraz
u
2
t
)
sygnałami wejściowymi.
Sygnały
wejściowe
Sygnały
wyjściowe
u
1
(t)
u
2
(t)
Dynamika
układu
y
1
(t)
y
2
(t)
Rys. 1. Schemat blokowy układu
Ostatnia aktualizacja: 2009-06-25
M. Tomera
tego rzędu.
Stosując zbiór zmiennych, zwanych
zmiennymi stanu
, można uzyskać zbiór
n
równań różniczkowych
pierwszego rzędu. Grupując równania pierwszego rzędu przy użyciu notacji macierzowej otrzymuje
się opis zwany
modelem zmiennych stanu
.
x
n
. Zmienne stanu są takimi zmiennymi, które określają
przyszłe zachowanie układu przy znanym stanie obecnym układu i sygnałach wymuszających.
Rozważmy układ pokazany na rys. 1, gdzie
t
Teoria sterowania
Równania dynamiczne
1
dla układu pokazanego na rysunku 1 jest zbiorem takiej wiedzy
o warunkach początkowych zmiennych stanu
x
,
2
x
,...,
x
n
x
1
(
t
o
),
x
2
(
t
o
),...,
x
n
(
t
o
)
w chwili początkowej
t
oraz
, która wystarczy do określenia wartości
przyszłych zmiennych stanu i wyjścia. W postaci ogólnej dynamika układu pokazana jest na rys. 2.
u
1
t
)
oraz
u
2
t
)
dla
t
t
o
x
(0)
Warunki
początkowe
Wejście
u
(
t
)
Dynamika układu
Stan
x
(
t
)
Wyjście
y
(
t
)
Rys. 2. Dynamika układu
Koncepcja zbioru zmiennych stanu opisująca układ dynamiczny może zostać zilustrowana na prostym
przykładzie masy zawieszonej na sprężynie.
Przykład 1
Dla układu pokazanego na rysunku 1.1 wyznacz równania stanu.
k
Rozwiązanie. Liczba wybranych zmiennych stanu reprezentujących ten
układ powinna być najmniejszą z możliwych celem uniknięcia
nadmiarowych zmiennych stanu. Zbiór zmiennych stanu wystarczający do
opisu tego układu zawiera pozycję i prędkość poruszania się masy.
Dlatego też zdefiniowany zbiór zmiennych stanu
x
1
,
x
składa się z
b
2
następujących zmiennych:
M
x
(
t
)
y
(
t
)
oraz
x
(
t
)
dy
(
t
)
.
(1.1)
1
2
dt
Rys. 1.1. Układ masa-
sprężyna- tłumik
Równanie różniczkowe opisujące zachowanie się układu z rysunku 1.1 ma
postać
d
2
y
(
2
t
)
dy
(
t
)
M
b
ky
u
(
t
)
(1.2)
dt
dt
współczynnik tarcia. Aby zapisać równanie (1.2) w zależności od
zmiennych stanu, podstawione zostały zmienne stanu opisane zależnościami (1.1)
stała sprężyny,
b
M
dx
2
bx
kx
u
(
t
)
(1.3)
dt
2
1
Równania różniczkowe (1.3) można również zapisać w postaci następującego zbioru dwóch
równań różniczkowych pierwszego rzędu:
.
dx
1
x
x
(1.4)
1
dt
2
.
dx
2
b
k
1
x
x
x
u
(1.5)
2
dt
M
2
M
1
M
Uzyskany zbiór równań różniczkowych opisuje zachowanie stanu układu w zależności od
prędkości zmiany każdej zmiennej stanu.
Ostatnia aktualizacja: 2009-06-25
M. Tomera
2
Zbiór zmiennych stanu
sygnałach wejściowych
gdzie:
k
Teoria sterowania
Równania dynamiczne
Zmienne stanu opisują przyszłą odpowiedź układu przy danym stanie obecnym, sygnałach
pobudzających i równaniach opisujących dynamikę układu.
Zmienne stanu charakteryzują zachowanie dynamiczne układu. W układach fizycznych tymi
zmiennymi są takie wielkości fizyczne jak napięcia, prądy, prędkości, pozycje, ciśnienia, temperatury,
itd. Koncepcja stanu układu nie ogranicza się tylko do analizy układów fizycznych i jest również
wykorzystywana w analizowaniu systemów biologicznych, społecznych i ekonomicznych. Dla tych
systemów koncepcja stanu jest rozszerzana poza koncepcję energii układu fizycznego do szerszego
pojęcia zmiennej, która opisuje ich przyszłe zachowanie.
3. RÓWNANIA DYNAMICZNE STANU
Stan układu opisywany jest przez zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu w zależności od
zmiennych stanu
x
,
2
x
,...,
x
)
n
.
x
a
x
a
x
...
a
x
b
u
...
b
u
1
11
1
12
2
1
n
n
11
1
1
m
m
.
x
a
x
a
x
...
a
x
b
u
...
b
u
2
21
1
22
2
2
n
n
21
1
2
m
m
(1)
...
.
x
a
x
a
x
...
a
x
b
u
...
b
u
n
n
1
1
n
2
2
nn
n
n
1
1
nm
m
. Zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu (1) może być zapisany
w następującej notacji macierzowej
x
dx
dt
x
1
a
11
a
12
...
a
1
n
x
1
b
...
b
u
d
x
a
a
...
a
x
11
1
m
1
2
21
22
2
n
2
...
...
...
(2)
dt
...
...
...
...
b
...
b
u
x
a
a
...
a
x
n
1
nm
m
4
n
1
n
2
nn
n
Macierz kolumnowa składająca się ze zmiennych stanu nazywana jest
wektorem stanu
i zapisywana
jest następująco
x
1
x
x
2
(3)
...
x
n
Wektor sygnałów wejściowych określany jest jako
u
. Równanie (2) w postaci ogólnej przedstawiane
jest w postaci następującego zapisu macierzowego
.
(4)
x
A
x
B
u
.
.
x
do stanu tego układu
x
i sygnałów wejściowych
u
. Ogólnie wyjścia
y
układu liniowego mogą być odniesione do zmiennych
stanu
x
i sygnałów wejściowych
u
przez
równanie wyjścia
zapisane w postaci ogólnej
n
n
, natomiast
ma
cierz
B
jest o wymiar
ac
h
n
m
. Równanie różnicz
k
owe stanu odnosi p
rę
dkość zmiany stanu układu
y
D
C
u
(5)
gdzie
y
jest zbiorem sygnałów wyjściowych wyrażonych w formie wektora kolumnowego.
Ostatnia aktualizacja: 2009-06-25
M. Tomera
3
1
. Te równania różniczkowe pierwszego rzędu mogą być zapisane
w następującej postaci ogólnej jako:
gdzie
.
Równanie różniczkowe (4) zazwyczaj nazywane jest
równaniem stanu
.
Macierz
A
jest macierzą kwadratową o wymiarach
 Teoria sterowania
Równania dynamiczne
Przykład 2
Korzystając z równań (1.4) i (1.5) można uzyskać równanie różniczkowe zmiennych stanu dla
układu pokazanego na rys. 1.1 w postaci
.
0
1
0
k
b
1
x
x
u
(2.1)
M
M
M
oraz równanie wyjścia
y
[ ]
1
0
x
[ ]
0
u
(2.2)
Po podstawieniu
b
= 3,
k
= 2,
M
= 1, otrzymuje się
x
.
0
1
x
0
u
(2.3)
2
3
1
y
[ ]
1
0
x
[ ]
0
u
(2.4)
4. MACIERZ TRANZYCJI STANU
Rozwiązanie równania różniczkowego stanu może być uzyskane w podobny sposób w jaki rozwiązuje
się równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Rozważmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu
x
.
ax
bu
(6)
gdzie )
x
oraz )
y
są skalarnymi funkcjami czasu. Spodziewamy się rozwiązania ekspotencjalnego
(
t
e
. Przekształcając równanie (6) przy użyciu transformacji operatorowej Laplace'a,
otrzymuje się
at
sX
(
s
)
x
(
0
aX
(
s
)
bU
(
s
)
(7)
i dlatego też
X
(
s
)
x
(
0
b
U
(
s
)
(8)
s
a
s
a
Przekształcenie odwrotne transformaty Laplace'a równania (8) daje następujące wyrażenie
t
x
(
t
)
e
at
x
(
0
e
a
( )
bu
( )
d
(9)
0
Rozwiązanie równania różniczkowego stanu ma postać podobną do równania (9) i przedstawia się
następująco:
t
( )
]
( )
x
(
)
exp(
A
t
)
x
(
0
exp
A
t
B
u
d
(10)
0
gdzie
A
2
t
2
A
k
t
k
exp(
A
t
)
e
A
t
I
A
t
...
...
(11)
2
k
!
Wyrażenie (10) może być uzyskane po dokonaniu przekształcenia równania (4) przy użyciu
transformacji Laplace'a i wyznaczeniu
[
X
(
s
)
s
I
A
1
x
(
0
s
I
A
1
BU
(
s
)
(12)
Ostatnia aktualizacja: 2009-06-25
M. Tomera
4
(
t
w formie
t
t
Teoria sterowania
Równania dynamiczne
. Macierz funkcji
ekspotencjalnej opisuje niewymuszoną odpowiedź układu i nazywana jest macierzą tranzycji stanu
)
(
s
)
s
I
A
1
jest transformatą Laplace'a
(
)
exp(
A
t
)
(
t
. Dlatego też równanie (10) może być przepisane jako
t
( )
x
(
)
(
t
)
x
(
0
+
(
t
)
B
u
d
(13)
0
Rozwiązanie układu nie poddanego żadnemu wymuszeniu (gdy
u
0
) ma postać
x
1
(
t
)
11
(
t
)
...
1
n
(
t
)
x
1
(
0
x
2
(
t
)
21
(
t
)
...
2
n
(
t
)
x
2
(
0
(14)
...
...
...
...
x
n
(
t
)
n
1
(
t
)
...
nn
(
t
)
x
n
(
0
Aby określić macierz tranzycji stanu, wszystkie warunki początkowe ustawiane są na zero, za
wyjątkiem jednej zmiennej stanu i wówczas określane jest wyjście każdej zmiennej stanu. Wówczas
element
ij
(
t
)
Przykład 3
Korzystając z równań (2.3) poszukamy macierzy tranzycji
(
t
)
, a następnie przebiegów
czasowych
x
1
t
(
)
oraz
x
2
t
(
)
, kiedy
x
(
0
)
=1,
x
2
(
0
)
=0 i
u
(
t
)
0
Rys. 3.1. Prezentacja graficzna uzyskanych w przykładzie 3 wyników. (a) Przebieg czasowy zmiennej
stanu
x
1
(
t
). (b) Przebieg czasowy zmiennej stanu
x
2
(
t
). (c) Trajektoria wektora stanu na
płaszczyźnie
Macierz tranzycji jest prostą transformatą odwrotną
(
s
)
(
t
)
=
£
−
1
{ }
(
s
)
(3.1)
Najpierw określimy
(
s
)
ze wzoru
(
s
)
s
I
A
1
. Z równania (2.3)
Ostatnia aktualizacja: 2009-06-25
M. Tomera
5
Zauważmy, że
t
t
jest odpowiedzią
i
-tej zmiennej stanu na warunek początkowy
j
-tej zmiennej stanu,
przy zerowych wartościach początkowych na wszystkich pozostałych stanach.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]