Temat16 rozwiazania

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ROZWIĄZANIA ĆWICZEŃ
PODSTAWY SYMBOLIZACJI LOGIKI PREDYKATÓW
Ćwiczenie 16.I.
Dokonaj symbolizacji każdego z następujących zdań w oparciu o podaną legendę. Staraj się podać jak
najwierniejszą symbolizację, tj. jak najbardziej zbliżoną do struktury zdania w języku polskim. W
drugiej kolumnie zdanie logicznie równoważne zdaniu wpisanemu w kolumnę pierwszą.
Dziedzina: ludzie
Gx: x
jest godny zaufania
Ux – x
jest uczciwy
(a) Nikt nie jest godzien zaufania.
∀
x
~
Gx
~
∃
x
Gx
(b) Nie wszyscy są godni zaufania.
~
∀
x
Gx
∃
x
~
Gx
(c) Wszyscysą niegodni zaufania.
∀
x
~
Gx
~
∃
x
Gx
(d) Ktoś jest niegodny zaufania.
∃
x
~
Gx
~
∀
x
Gx
(e) Ktoś nie jest uczciwy.
∃
x
~
Ux
~
∀
x
Ux
(f) Nikt nie jest uczciwy.
∀
x
~
Ux
~
∃
x
Ux
(g) Wszyscysą nieuczciwi.
∀
x
~
Ux
~
∃
x
Ux
(h) Nie ma nikogo, kto byłby uczciwy.
~
∃
x
Ux
∀
x
~
Ux
(i) Nie wszyscy są uczciwi.
~
∀
x
Ux
∃
x
~
Ux
Ćwiczenie 16.II.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań w oparciu o podaną legendę:
Dziedzina: ludzie
Kx
–
x
jest
k
obietą
Tx
–
x
jest ma
t
ką
Mx
–
x
jest
m
ężczyzną
Ox
–
x
jest
o
jcem
(a) Pewienmężczyzna jest ojcem.
∃
x
(
Mx
∧
Ox
)
(b) Niektórzymężczyźni nie są ojcami.
∃
x
(
Mx
∧
~
Ox
)
(c) Niektórekobietysą matkami.
∃
x
(
Kx
∧
Tx
)
(d) Niektóre kobiety nie są matkami.
∃
x
(
Kx
∧
~
Tx
)
(e) Wszystkiekobietysą matkami.
∀
x
(
Kx
→
Tx
)
(f) Żaden mężczyzna nie jest matką.
∀
x
(
Mx
→
~
Tx
)
(g) Wszyscy ojcowie są mężczyznami.
∀
x
(
Ox
→
Mx
)
(h) Żadna kobieta nie jest mężczyzną.
∀
x
(
Kx
→
~
Mx
)
(i) Żaden mężczyzna nie jest kobietą.
∀
x
(
Mx
→
~
Kx
)
© Katarzyna Paprzycka
R16-1
Samouczek logiki zdań. Rozwiązania ćwiczeń
(wersja wstępna)
Wszelkie prawa zastrzeżone
Uwagi proszę kierować na adres:
Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl
Ćwiczenie 16.III.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań konstruując odpowiednią legendę, przyjmując jednak za
dziedzinę zbiór obywateli polskich, których obowiązuje Kodeks Pracy:
(a)
Każdy ma prawo do swobodnie wybranej pracy. (Kodeks Pracy,
Art. 10.
§ 1)
Sx
:
x
ma prawo do swobodnie wybranej pracy
∀
x
Sx
(b) Nikomu [...] nie można zabronić wykonywania zawodu. (Kodeks Pracy,
Art. 10.
§ 1)
∀
x
~
Zx
~
∃
x
Zx
Zx
:
x-
owi można zabronić wykonywania zawodu
(c) [Każdy] pracownik ma prawo do godziwego wynagrodzenia za pracę.
(Kodeks
Pracy,
Art. 13.
)
Px
:
x
jest pracownikiem
Wx
:
x
ma prawo do wynagrodzenia za pracę
∀
x
(
Px
→
Wx
)
(d) [Każdy] Pracodawca jest obowiązany ułatwiać pracownikom podnoszenie
kwalifikacji zawodowych. (Kodeks Pracy,
Art. 17.
)
Cx
:
x
jest pracodawcą
Kx
:
x
ma obowiązek ułatwiać pracownikom podnoszenie kwalifikacji
zawodowych
∀
x
(
Cx
→
Kx
)
Ćwiczenie 16.IV.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań w oparciu o podaną legendę. Które z tych zdań jest
prawdziwe, a które fałszywe?
Dziedzina: osoby
Kx
–
x
jest
k
o
bietą
Tx
–
x
jest ma
t
ką
Mx
–
x
jest
m
ężczyzną
Ox
–
x
jest
o
jcem
Sx
–
x
nosi
s
pódnice
Rx
–
x
nosi k
r
awat
(a) Wszyscymężczyźni są ojcami.
∀
x
(
Mx
→
Ox
)
prawdziwe
;
fałszywe
(b) Tylkomężczyźni są ojcami.
∀
x
(
Ox
→
Mx
)
;
prawdziwe
fałszywe
(c) Wszystkiekobietysą matkami.
∀
x
(
Kx
→
Tx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(d) Tylko kobiety są matkami.
∀
x
(
Tx
→
Kx
)
;
prawdziwe
fałszywe
(e) Wszystkie matki są kobietami.
∀
x
(
Tx
→
Kx
)
;
prawdziwe
fałszywe
(f) Tylko matki są kobietami.
∀
x
(
Kx
→
Tx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(g) Tylkomężczyźni noszą krawaty.
∀
x
(
Rx
→
Mx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(h) Tylko kobiety noszą spódnice.
∀
x
(
Sx
→
Kx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(i) Tylko kobiety nie noszą krawatów.
∀
x
(~
Rx
→
Kx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(j) Tylkomężczyźni nie noszą spódnic.
∀
x
(~
Sx
→
Mx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(k) Tylko osoby noszące spódnice są kobietami.
∀
x
(
Kx
→
Sx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(l) Tylko osoby noszące krawaty są mężczyznami.
∀
x
(
Mx
→
Rx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(m) Tylko osoby noszące spódnice nie noszą krawatów.
∀
x
(~
Rx
→
Sx
)
prawdziwe
;
fałszywe
(n) Tylko osoby nie będące matkami są ojcami.
∀
x
(
Ox
→
~Mx
)
;
prawdziwe
fałszywe
(o) Tylko osoby noszące nie noszące spódnic są ojcami.
∀
x
(
Ox
→
~
Sx
)
prawdziwe
;
fałszywe
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 15. Podstawy symbolizacji
R16-2
Ćwiczenie 16.V.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań w oparciu o podaną legendę – uwzględniając podaną
dziedzinę. Zwróć uwagę, czy zdanie w ogóle można dokonać symbolizacji tego zdania w odniesieniu
do tej dziedziny:
Ox
:
x
jest osobą/człowiekiem
Mx
:
x
jest płci męskiej
Px: x
jest piękny
Kx
:
x
jest płci żeńskiej
Sx
:
x
jest ssakiem
Lx: x
lubi logikę
Dziedzina:
wszystko
ludzie
kobiety
(a) Wszystko jest piękne.
∀
x
Px
–
–
(b) Wszyscysą piękni.
∀
x
(
Ox
→
Px
)
∀
x
Px
–
(c) Wszystkiesą piękne.
∀
x
((
Ox
∧
Kx
)
→
Px
)
∀
x
(
Kx
→
Px
)
∀
x
Px
(d) Nikt nie lubi logiki.
~
∃
x
(
Ox
∧
Lx
)
~
∃
x
Lx
–
(e) Żadna kobieta nie lubi logiki
~
∃
x
((
Ox
∧
Kx
)
∧
Lx
)
~
∃
x
(
Kx
∧
Lx
)
~
∃
x
Lx
(f) Niektórekobietylubią logikę
∃
x
((
Ox
∧
Kx
)
∧
Lx
)
∃
x
(
Kx
∧
Lx
)
∃
x
Lx
(g) Istnieją amatorzy logiki.
∃
x
(
Ox
∧
Lx
)
∃
x
Lx
–
(h) Tylko ludzie lubią logikę.
∀
x
(
Lx
→
Ox
)
–*
–
(i) Nie tylko kobiety lubią logikę.
~
∀
x
(
Lx
→
(
Ox
∧
Kx
)) ~
∀
x
(
Lx
→
Kx
)
–*
(j) Pewienmężczyzna jest piękny.
∃
x
((
Mx
∧
Ox
)
∧
Px
)
∃
x
(
Mx
∧
Px
)
–
Ox
) będzie pusto spełnione, gdyż dla
każdego indywiduum z dziedziny następnik implikacji jest prawdziwy. Znaczy to w szczególności, że
dla dowolnego predykatu
P
zdania postaci „Tylko ludzie są
P
” będzie prawdziwe – co jest oczywiście
rezultatem niepożądanym. Przecież pewne zdania tej postaci są ewidentnie fałszywe, np. „Tylko ludzie
są zwierzętami”. Rezultat ten świadczy o tym, że zdań postaci „Tylko ludzie są
P
” nie można oddać
jeżeli dziedziną będzie zbiór ludzi. Analogicznie będzie w przykładzie (i).
∀
x
(
Lx
→
Nie wszystkie aligatory są brązowe Niektóre aligatory nie są brązowe.
~A
~
∀
x
(
Ax
→
Bx
)
::
∃
x
(
Ax
∧
~
Bx
)
O
Nieprawda, że żadna ara nie jest błękitna. Niektóre ary są błękitne.
~E
~
∀
x
(
Ax
→
~Bx
)
::
∃
x
(
Ax
∧
Bx
)
I
Nie ma albatrosa, który jest brudnoszary. Żaden albatros nie jest brudnoszary.
~I
~
∃
x
(
Ax
∧
Bx
)
::
∀
x
(
Ax
→
~
Bx
)
E
Nie ma albinosa, który nie jest biały. Wszystkie albinosy są białe.
~O
~
∃
x
(
Ax
∧
~Bx
)
::
∀
x
(
Ax
→
Bx
)
A
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 15. Podstawy symbolizacji
R16-3
*Jeżeli za dziedzinę obierzemy zbiór ludzi to zdanie
Ćwiczenie 16.VI.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań w oparciu o podaną legendę, próbując dokonać symbolizacji
tych zdań jako zdań skwantyfikowanych oraz jako negacji zdań skwantyfikowanych:
Dziedzina: zwierzęta
Fx
:
x
ma futro
Lx
:
x
lata
Px
:
x
jest ptakiem
Rx
:
x
ma pierze
Sx
:
x
jest ssakiem
(a) Nie wszystkie ptaki latają.
~
∀
x
(
Px
→
Lx
)
∃
x
(
Px
∧
~
Lx
)
(b) Żaden ptak nie ma futra.
∀
x
(
Px
→
~
Fx
)
~
∃
x
(
Px
∧
Fx
)
(c) Nie ma ptaków nie posiadających pierza.
~
∃
x
(
Px
∧
~
Rx
)
∀
x
(
Px
→
Rx
)
(d) Nie jest prawdą, że żaden ptak nie biega.
~
∀
x
(
Px
→
~
Bx
)
∃
x
(
Px
∧
Bx
)
(e) Tylkoptakimają pierze.
∀
x
(
Rx
→
Px
)
~
∃
x
(
Rx
∧
~
Px
)
(f) Żaden ssak nie ma pierza.
∀
x
(
Sx
→
~
Rx
)
~
∃
x
(
Sx
∧
Rx
)
(g) Nie tylko ssaki biegają.
~
∀
x
(
Bx
→
Sx
)
∃
x
(
Bx
∧
~
Sx
)
(h) Nie wszystkie ssaki latają.
~
∀
x
(
Sx
→
Lx
)
∃
x
(
Sx
∧
~
Lx
)
(i) Nieprawda,że żaden ssak nie lata.
~
∀
x
(
Sx
→
~
Lx
)
∃
x
(
Sx
∧
Lx
)
(j)
Nieprawda, że nie ma ssaków nie mających futer.
~~
∃
x
(
Sx
∧
~
Fx
)
~
∀
x
(
Sx
→
Fx
)
∃
x
(
Sx
∧
~
Fx
)
Ćwiczenie 16.VII.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań w oparciu o podaną legendę:
Dziedzina: ludzie
Lx
:
x
wykłada logikę
Px
:
x
wykłada prawo
Sx
:
x
postradał zmysły
Wx
:
x
jest wymagający
Zx
:
x
jest złośliwy
(a) Osoby, które postradały zmysły, wykładają logikę lub prawo.
∀
x
(
Sx
→
(
Lx
∨
Px
))
(b) Wszyscywymagający wykładowcy logiki postradali zmysły.
∀
x
((
Lx
∧
Wx
)
→
Sx
)
(c) Wszyscywykładowcy logiki są wymagający i złośliwi.
∀
x
(
Lx
→
(
Wx
∧
Zx
))
(d) Żaden wymagający wykładowca prawa nie postradał
zmysłów.
∀
x
((
Wx
∧
Px
)
→
~
Sx
)
(e) Nie ma niezłośliwych wykładowców prawa, który dbaliby o
dobro studentów.
~
∃
x
((~
Zx
∧
Px
)
∧
Dx
)
∀
x
((~
Zx
∧
Px
)
→
~
Dx
)
(f) Żaden wykładowca prawa, który postradał zmysły, nie jest
złośliwy.
~
∃
x
((
Px
∧
Sx
)
∧
Zx
)
∀
x
((
Px
∧
Sx
)
→
~
Zx
)
(g) Tylkowykładowcy logiki są złośliwi i wymagający.
∀
x
((
Zx
∧
Wx
)
→
Lx
)
~
∃
x
((
Zx
∧
Wx
)
∧
~
Lx
)
(h) Niektórzywykładowcy logiki dbają o dobro studentów,
mimo że są złośliwi lub wymagający.
∃
x
(
Lx
∧
(
Dx
∧
(
Zx
∨
Wx
)))
(i) Nikt kto albo postradał zmysły albo dba o dobro studentów
nie wykłada prawa.
∀
x
((
Sx
∨
Dx
)
→
~
Px
)
~
∃
x
((
Sx
∨
Dx
)
∧
Px
)
(j) Tylko wykładowcy logiki lub prawa dbają o dobro
studentów.
∀
x
(
Dx
→
(
Lx
∨
Px
))
~
∃
x
(
Dx
∧
~(
Lx
∨
Px
))
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 15. Podstawy symbolizacji
R16-4
Bx
:
x
biega
Dx
:
x
dba o dobro studentów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]