Teoria 5 - Korelacja i regresja

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TeoriaV
In»ynieriaBiomedycznaIrok,semestrletni2009/2010
21/22kwietnia2010r.
1Kowariancja
Kowariancjaopisujezale»no–¢liniow¡miƒdzyzmiennymilosowymiXiY.Okre–lonajest
wzorem:
Cov(X;Y)=E((X E(X))(Y E(Y))) (1)
Mo»nadojejobliczeniaskorzysta¢zprostszegowzoru:
Cov(X;Y)=E(XY)E(X)E(Y); (2)
przyczymdlazmiennychdyskretnych:
E(XY)=
X
i;j
x
i
y
j
p
ij
(3)
Je–liCov(X;Y)=0,tom
ó
wimy,»ezmienneXiYs¡nieskorelowane.Je–lizmienne
s¡niezale»ne,tos¡r
ó
wnie»nieskorelowane.Jednakzmiennenieskorelowaneniemusz¡
by¢zawszeniezale»ne
mog¡oneby¢zale»ne,alenieliniowo.
W“asno–cikowariancji:
Cov(X;a)=0
Cov(X;X)=V(X)
Cov(X;Y)=Cov(Y;X)
Cov(aX;bY)=abCov(X;Y)
Cov(X+a;Y+b)=Cov(X;Y)
2Wsp
ó
“czynnikkorelacji
Wsp
ó
“czynnikkorelacjim
ó
wi,wjakimstopniudwiezmiennelosowes¡wsp
ó
“zale»ne.
Istniejewielesposob
ó
wnaokre–leniewsp
ó
“czynnikakorelacji,mybƒdziemysiƒzajmowa¢
najpopularniejszym
wsp
ó
“czynnikiemkorelacjiPearsona(oznaczanymlubr).Okre–la
onsi“ƒzale»no–ciliniowejpomiƒdzydwomazmiennymiijestwyznaczanyznastƒpuj¡cego
wzoru:
=
Cov(X;Y)
p
V(X)V(Y)
=
Cov(X;Y)
X
Y
(4)
1
Przyjmujeonzawszewarto–cizprzedzia“uh1;1i.Je–li=0,tozmiennes¡niesko-
relowaneiniemamiƒdzynimi»adnejzale»no–ciliniowej,natomiast=1oznacza,»e
miƒdzyzmiennymiistnieje–cis“adodatnia/ujemnazale»no–¢liniowa,awiƒc»e
P(Y=aX+b)=1 (5)
dlapewnychsta“ychaib.
Wsp
ó
“czynnikkorelacjiliniowejmo»natraktowa¢jakznormalizowan¡,bezwymiarow¡
kowariancjƒ,dziƒkiczemumo»nau»ywa¢gojakouniwersalnejmiarypozwalaj¡cejpor
ó
wny-
wa¢zale»no–¢liniow¡r
ó
»nychparzmiennychlosowych.
Przyk“adywarto–ciwsp
ó
“czynnikakorelacjiliniowejdlar
ó
»ychrozk“ad
ó
wdw
ó
chzmi-
ennychilustruj¡poni»szewykresy:
3Prosteregresji
Funkcjaregresjiokre–la,jakiejprzeciƒtniejzmianiepodlegaj¡warto–cijednejzmien-
nejlosowej(Y),gdydrugazmiennalosowa(X)przyjmujeokre–lonewarto–ci.Je–li
przyjmiemy,»efunkcjaregresjijestfunkcj¡liniow¡postaci y=
1
+
2
x,tomo»emy
takdobra¢wsp
ó
“czynniki
1
i
2
,abyzminimalizowa¢–rednieodchyleniekwadratowe
zmiennejYodzmiennej
1
+
2
X,awiƒczminimalizowa¢wyra»enie:
E((Y (
1
+
2
X))
2
) (6)
Wtakimprzypadkuczynnikiteprzyjmuj¡warto–ci:
X
1
=E(Y)
2
E(X)
(7)
Prost¡y=
1
+
2
xnazywamyprost¡regresjidrugiegorodzajuzmiennej Ywzglƒdem
zmiennejX.Zmienn¡
1
+
2
Xmo»nainterpretowa¢jakoestymacjƒwarto–cioczekiwanej
zmiennejYdlaznanychwarto–cizmiennejX.
Nale»yzauwa»y¢,»eprostaregresjidlaYwzglƒdemXniemusiby¢takasama,jak
dlaXwzglƒdemY.Przyk“adoweprosteregresji(dlar
ó
»nychwarto–ci )przedstawiono
poni»ej:
2
2
=
Y
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]