TEORIA CAŁKI

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
§1.
C
AŁKI NIEOZNACZONE
1.Definicja całki nieoznaczonej.
Całkę nieoznaczoną z funkcji f(x): [a,b]
R

definiujemy nastepująco:

f
 
x
dx

F
(
x
)

C

 
F
(
x
)

C


f
(
x
)
Z definicji tej wynika, że całka nieoznaczona jest rodziną funkcji pierwotnych tzn. takich, że
ich pochodna jest równa funkcji podcałkowej
 
).
F

(
x
)

C

f
(
x
2.Tablica całek nieoznaczonych.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynika następująca tablica całek
nieoznaczonych.
1°

0
dx

C

(
C
)


0
2°

1
dx

x

C

(
x

C
)


1
x
2

x
2


3°

xdx


C



C


x
2
2


x
3

x
3


4°

x
2
dx


C



C


x
2
3
3


x


1

x


1


5°

x

dx


C



C


x



1


1


1
1

1


1
6°

dx



C




C


x
2
x
x
x
2

1
dx

2
x

C

 
2
x

C


1
7°
x
x
Strona
1
z
33

1
dx

ln
x

C

 
ln
x

C


1
8°
x
x
9°

sin
xdx


cos
x

C

 
x

cos
x

C


sin
10°

cos
xdx

sin
x

C

 
x
sin
x

C


cos

1
dx

tgx

C

 
tgx

C


1
11°
cos
2
x
cos
2
x
12°

1
dx


ctgx

C



ctgx

C



1
sin
2
x
sin
2
x
13°

e
x
dx

e
x

C

 
e
x

C


e
x
a
x

a
x



a
x
dx


C



C


a
x
14°
ln
a
ln
a


15°

1
dx

arc
sin
x

C


arc
sin
x

C



1
1

x
2
1

x
2
16°


1
dx

arccos
x

C


arccos
x

C




1
2
2
1

x
1

x
17°

1
dx

ar
ctg
x

C


ar
ctg
x

C



1
1

x
2
1

x
2


1
dx

arcctgx

C


arcctgx

C




1
18°
1

x
2
1

x
2
3. Własności całek.

f

(
x
)
dx

f
(
x
)

C

 
)
f
(
x
)

C


f
(
x
Strona
2
z
33
 
 
)

f
(
x
)
dx


F
(
x
)

C


f
(
x



f
(
x
)


g
(
x
)

dx


 
f
(
x
)
dx


g
(
x
)
dx

,

R
4. Podstawowe całki wynikające z definicji.

cos
kx

cos
kx


I
.

sin
kxdx


C




C


sin
kx
z (9°)
k
k
sin
kx

sin
kx


II.

cos
kxdx


C



C


cos
kx
z (10°)
k
k
e
kx

e
kx


III.

e
kx
dx


C




C



e
kx
z (13°)
k
k
IV.

f

(
x
)
dx

ln
   
f
(
x
)

C


ln
f
(
x
)

C



1

f

(
x
)

f
(
x
)
z (8°)
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
V.

f

(
x
)
dx

2
f
(
x
)

C

 
2
f
(
x
)

C


2

f

(
x
)
z (7°)
f
(
x
)
2
f
(
x
)
6. Metoda całkowania przez podstawianie i wzory wynikające z tej metody.
6. 1° Metoda podstawiania.

f
)
(
gdzie
)
x
dx
x 

oraz
dt
(
t
dx
)

to:


(
t
 
f
(
x
)
dx

f
 

(
t
)



(
t
)
dx


g
(
t
)
dt

G
(
t
)

C
;
6. 2° Dalsze wzory:
VI .

dx
1
2

arctg
x

C
z (17°)
m
2

x
m
m
Dowód:
Strona
3
z
33

 
dx

dx

1

dx

1
 
mdt

1
dt

1
ar
ctg
t

C

1
ar
ctg
x

C
m
2

x
2


x
2

m
2

x

2
m
2
1

t
2
m
1

t
2
m
m
m
2
m

1

1



m
2
m


x

t
m
x

mt
dx

mdt
VII.

dx

arcsin
x

C
z
(15°)
2
2
m
m

x
Dowód:

dx


dx

1

dx


dt

arcsin
t

C

arcsin
x

C
2
2
m
2
2
m
m

x
2
1

t


x


x

2




m
1
1



m
2
m
x

t
m
dx

dt
m
VIII
.

x
dx

x
2

k

C
x
2

k
Dowód:

x
dx


dt

t

C

x
2

C
x
2

k
x
2

k

t
1
.
2
xdx

dt
2
2
x

k
xdx

dt
x
2

k
IX.

x
dx


m
2

x
2

C
m
2

x
2
Strona
4
z
33
Dowód:

x
dx



tdt



dt


t

C


m
2

x
2

C
m
2

x
2
t
m
2

x
2

t
//
2
m
2

x
2

t
2

2
xdx

2
tdt
xdx


tdt
7.Metoda całkowania przez części “per partes”.
Niech funkcje f i g i ich pochodne są całkowalne w dziedzinie D. Zauważmy, że:
 
f
(
x
)

g
(
x
)


f

(
x
)

g
(
x
)

f
(
x
)

g

(
x
)

f
(
x
)

g
(
x
)



f

(
x
)

g
(
x
)

f
(
x
)

g

(
x
)
dx
f
(
x
)

g
(
x
)


f

(
x
)

g
(
x
)
dx


f
(
x
)

g

(
x
)
dx
-
addytywnoś
ć
Stąd wzór na całkowanie przez części:

f
(
x
)

g

(
x
)
dx

f
(
x
)
g
(
x
)


g
(
x
)

f

(
x
)
dx
Niech:
f
(
x
)

u

f

(
x
)
dx

du
g
(
x
)

v

g

(
x
)
dx

dv
udv

vdu
uv


(metoda
per
partes
)
f
(
x
)

u
g
(
x
)

v
f

(
x
)
dx

dt
g

(
x
)
dx

dv
Przykład 1.

ln
xdx
 ?
u

ln
x
dv


dx
1
du

dx
v
x
x
Strona
5
z
33

[ Pobierz całość w formacie PDF ]