Teoria Chaosu w Ujęciu ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->MATEMATYKA STOSOWANA 9, 2008Dominik Kwietniak(Kraków)Piotr Oprocha(Kraków)Teoria chaosu w ujęciu matematycznymStreszczenie.Niniejsza praca stanowi próbę przedstawienia istniejących definicji cha-osu dla dyskretnych układów dynamicznych. Dyskusję zawężono do zagadnień związanychz dynamiką topologiczną. Przedstawiono i umotywowano definicje: wrażliwości na warunkipoczątkowe, chaosu w sensie Li i Yorke’a, Auslandera i Yorke’a, Devaneya, chaosu dystry-bucyjnego, entropii topologicznej i podkowy topologicznej. Podzielono się pewnymi uwa-gami historycznymi. Omówiono znane związki między różnymi definicjami chaosu i przy-pomniano związane z nimi problemy otwarte.Słowa kluczowe:dynamika topologiczna, chaos, entropia topologiczna, topologicznatranzytywność, podkowa topologiczna, chaos w sensie Li i Yorke’a, chaos w sensie Auslan-dera i Yorke’a, chaos w sensie Devaneya, chaos dystrybucyjny, para Li-Yorke’a, wrażliwośćna warunki początkowe.1. Wprowadzenie.Pojęciechaosupojawiło się w naukach przyrodni-czych co najmniej 30 lat temu i ciągle wzbudza duże zainteresowanie. Dziękilicznym popularyzatorom badania nad zjawiskami chaotycznymi stały sięwzględnie dobrze znane opinii publicznej, zazwyczaj mało zainteresowanejrozwojem współczesnej nauki. Ukuto nawet termin „teoria chaosu”, mającyoznaczać nową dziedzinę nauki, której celem jest zajmowanie się zagadnie-niami związanymi z chaosem, rozumianym jako: „stochastyczne zachowaniewystępujące w układzie deterministycznym(1)” (patrz [Ste01]). Problememtym zajmowali się też oczywiście matematycy i nowy kierunek badań miałniemały wpływ na rozwój samej matematyki.Jednakże z punktu widzenia „czystej” matematyki można argumento-wać, żeteoria chaosunie zasługuje na miano teorii matematycznejper se,podobnie jak pokrewne jejteoria stabilności,czyteoria bifurkacji.Nie znaj-2000 Mathematics Subject Classification. 37B05, 37B10, 37B40,37D45.(1) Ta niedoskonała definicja, uzupełniona o podstawowe skojarzenia związane z po-tocznie rozumianym pojęciem chaosu będzie nam służyć w tym i następnym paragrafie.2D. Kwietniak, P. Oprochadziemy jej np. pośród 64 głównych dyscyplin matematycznych wymienia-nych przez Mathematics Subject Classification (MSC2000), „chaos theory”nie pojawia się także na niższych szczeblach klasyfikacji. Dokładne prze-szukanie listy MSC ujawni, że słowa „chaos” oraz „chaotic”, odnoszą sięzaledwie do 7 spośród ponad 5000 (sic!) obszarów badań matematycznychopisanych w MSC2000. Chcąc zatem rozpatrywać teorię chaosu w kategoriiteorii matematycznych musimy ją umiejscowić w ramach jakiegoś ogólniej-szego działu matematyki.W niniejszym artykule chcemy spojrzeć na pojawiające się w matema-tyce definicje chaosu z punktu widzenia teorii układów dynamicznych, a do-kładniej z punktu widzenia dynamiki topologicznej. Spróbujemy przybliżyćnarzędzia służące do analizy modeli zjawisk z czasem dyskretnym o złożonejdynamice, jakie oferuje ta teoria. Przedstawimy próby opisania chaosu jakopojęcia matematycznego, zdefiniowanego w języku topologii przestrzeni me-trycznych. Z rozmysłem pominiemy tu zagadnienia związane ze statystycz-nymi własnościami takich układów (teoria ergodyczna, miary niezmiennicze)oraz własnościami gładkich układów dynamicznych (wykładniki Lapunowa).Uczynimy tak ze względu na ograniczoną objętość tego artykułu oraz naszekompetencje i zainteresowania badawcze.Napisaliśmy ten artykuł, bo wydaje się nam, że zainteresowany tema-tyką chaosu w matematyce, czy to matematyk nie zajmujący się układamidynamicznymi, czy ekspert z innej dziedziny chcący pogłębić swoją wiedzęmatematyczną, ma do wyboru (z nielicznymi wyjątkami np. [Dev86], czybardziej elementarne [BDJ03], [PJS02]), albo pozycje popularnonaukowe,albo specjalistyczne artykuły badawcze. Te pierwsze często opisują zjawi-ska z punktu widzenia historii badań nad skomplikowaną dynamiką, czy teżz punktu widzenia fizyki, lecz nie znajdziemy w nich uporządkowanego wy-kładu teorii matematycznej. Z drugiej strony artykuły badawcze są częstonapisane językiem zbyt hermetycznym dla niespecjalistów. Artykuł ten maw naszym zamierzeniu chociaż częściowo wypełnić opisaną wyżej lukę, którądostrzegamy w polskiej literaturze matematycznej.Chcieliśmy, aby ten artykuł był łącznikiem, prowadzący od popularno-naukowych opisów definicji chaosu do problemów rozważanych na samejgranicy wiedzy, czyli problemów badawczych wciąż rozwijającej się teorii.Aby cel ten osiągnąć, nie unikaliśmy ani wprowadzania pewnych intuicji,które obeznanym bliżej z teorią tu prezentowaną mogą się wydawać oczywi-ste lub doskonale znane, ani też nie pominęliśmy okazji do wypowiedzeniabardziej zaawansowanych twierdzeń, nawet jeżeli wymagało to użycia małoznanej terminologii. Ma to w naszym zamierzeniu pomóc zorientować sięw zagadnieniu i literaturze tym, którzyjużzainteresowali się tą tematyką,ajeszczenie są w stanie samemu prowadzić badań.Zdajemy sobie sprawę, że przy takim podejściu, „modelowy Czytelnik”,Teoria chaosu w ujęciu matematycznym3dla którego byłby przeznaczony ten artykuł jakocałośćmoże nie istnieć.Mamy jednak nadzieję, że dotrzemy do szerszego grona Czytelników, któ-rzy zawarte tu informacje wykorzystają chociaż wczęścijako: przeglądowekompendium wiedzy specjalistycznej, źródło inspiracji do dalszych badań,czy też przewodnik po literaturze.Prezentując w sposób przeglądowy pewne zagadnienia matematycznei ich historię, nie sposób uniknąć skrótów i uproszczeń. Staraliśmy się za-prezentować fakty i przedstawić nasz subiektywny punkt widzenia na za-gadnienie chaosu w matematyce, jego znaczenie i osiągnięcia, historię i per-spektywy. Chcielibyśmy przekonać krytyków, że z matematycznym chaosemmoże być związana ciekawa i ważna matematyka, a entuzjastów zachęcićdo zgłębiania teorii układów dynamicznych, która jest o wiele subtelniejszai rozleglejsza niż sugerują to liczne źródła na temat „teoriichaosu”.2. Chaos jako pojęcie matematyczne.Kształtowanie się i rozwójpojęć matematycznych to proces długotrwały i zazwyczaj motywowany we-wnętrznie, poprzez nieustanne dążenie matematyków do ścisłości oraz pędku coraz większej ogólności i abstrakcji. Z punktu widzenia matematyki i jejhistorii pojęciechaosujest pojęciem stosunkowo młodym i nieukształto-wanym. Tym, co dodatkowo wyróżnia występujące w matematyce definicjechaosu, jest wpływ innych nauk, szczególnie nauk eksperymentalnych, któ-rych osiągnięcia stanowiły impuls do ich sformułowania.Matematyczna teoria układów dynamicznych, zapoczątkowana przez Po-incar´go na początku XX wieku, w latach 50 i 60 tego stulecia była rozwijanaebardzo intensywnie. Wtedy też, niejako równolegle, w innych dziedzinachnauki trwało budowanie modeli matematycznych dla wielu zjawisk. Mię-dzy innymi dzięki rozwojowi współczesnych komputerów stała się możliwadokładniejsza analiza tych modeli, które opisywały zjawiska złożone, nie-przewidywalne, chaotyczne. Badania te doprowadziły do „odkrycia” chaosudeterministycznego. Słowo odkrycie nie przypadkiem jest tu wzięte w cu-dzysłów. Błędem byłoby interpretowanie przełomu, jaki miał miejsce w tymczasie w naukach przyrodniczych, jako całkiem nowego, nieoczekiwanego od-krycia. Bliższe prawdy wydaje się, że właśnie wtedy zrozumiano, że pewneniejasne dotąd idee, których przebłyski pojawiały się tu i ówdzie już od cza-sów Poincar´go, mogą pomóc wyjaśnić złożoność otaczającego nas świata.eZrozumiano, że nawet proste równania są zdolne do generowania ruchutak złożonego, że wydaje się przypadkowy, nieuporządkowany, czyli zgodniez naszą tymczasową definicją — chaotyczny.Znajomość praw rządzących danym zjawiskiem (znajomość modelu) orazumiejętność wyznaczenia aktualnego stanu modelowanego układu wcale niegwarantują, że będziemy w stanie wyliczyć przyszłe zachowanie się układu,bowiem może on być wrażliwy na każdy, nawet najmniejszy błąd pomiaru,4D. Kwietniak, P. Oprochajaki popełnimy przy wyznaczaniu stanu początkowego tego układu. Przed-stawiciele kolejnych nauk odkrywali, że sytuacja ta ma miejsce w modelachzjawisk fizycznych, meteorologicznych, ekologicznych, chemicznych... Chaosstał się pojęciem modnym i nie mogło to umknąć uwadze matematyków.Matematycy mieli już swoją „teorię chaosu”, to jest teorię układów dyna-micznych, która obejmowała znacznie więcej niż tylko zagadnienia związanez zachowaniem chaotycznym, ale wyniki z innych dziedzin wiedzy zasuge-rowały naturalne pytanie:Jakie matematyczne własności (wypowiedzianew języku matematyki, a nie na podstawie empirycznych obserwacji zacho-wania układu) decydują o tym, że dany model matematyczny, czyli układdynamiczny będzie zachowywał się chaotycznie?Oczywiście odpowiedź natak postawione pytanie zależy od naszej subiektywnej oceny i nie może byćjednoznaczna. Nie dyskwalifikuje to jednak ewentualnych prób sformułowa-nia ścisłej definicji chaosu. Taka idealna definicja powinna być spełnionaprzez te wszystkie układy, które uznajemy za chaotyczne i nie dopuszczaćtych układów, które z jakiś powodów uznajemy za przewidywalne. Powinnapozwalać na sformułowanie twierdzeń, które pomogą zrozumieć zachowanietakich układów. Ów cudowny „przepis na chaos” powinien także pozwalaćna porównania „mocy” chaosu w dwóch chaotycznych układach.Obawiamy się, że takiej uniwersalnej definicji nie ma i nigdy nie udasię znaleźć, opiszemy jednak w tym artykule najpopularniejsze z tych, któredo tej pory zostały sformułowane i postaramy się podać zachodzące międzynimi zależności.Organizacja artykułu.Ze względu na to, że naszymi potencjalnymiodbiorcami są matematycy niespecjaliści od układów dynamicznych lub ba-dacze stosujący matematykę, staraliśmy się, na ile było to możliwe, uniknąćzbyt wielu szczegółów technicznych. Nie wszędzie jednak było to możliwe.Musieliśmy także przyjąć pewne minimalne wymagania dotyczące wiedzynaszych Czytelników, szczególnie z podstaw analizy matematycznej, teoriizbiorów i topologii. Podstawowe pojęcia z zakresu teorii układów dynamicz-nych, którymi będziemy się posługiwać przy formułowaniu definicji chaosu,zebraliśmy dla wygody Czytelnika w następnym paragrafie. Paragraf tenma charakter wstępny i jego dokładne przestudiowanie nie jest niezbędnedo zrozumienia pracy. Powinien on być traktowany jako podręczny słownik,do którego zagląda się tylko w razie potrzeby.Poza tym artykuł zawiera: W paragrafie 4 omawiamy pojęcietopolo-gicznej tranzytywności.Kolejny krótki paragraf poświęciliśmy twierdzeniuSzarkowskiego. Potem następują działy poświęcone definicjom chaosu: wraż-liwości na warunki początkowe, chaosowi w sensie Auslandera i Yorke’a, Lii Yorke’a, Devaneya, dynamice symbolicznej, entropii topologicznej i cha-osowi dystrybucyjnemu. W każdym z tych paragrafów porównujemy podanąTeoria chaosu w ujęciu matematycznym5w nim definicję chaosu z tymi, które podane zostały w paragrafach poprzed-nich. Przy porównywaniu definicji chaosu, mówimy, że definicja A jest słab-sza od B, lub, że B jest mocniejsza niż A, gdy zachodzi implikacjaB=⇒A.Większość paragrafów kończymy krótkim omówieniem literatury uzupełnia-jącej ich zawartość.3. Podstawowe definicje i oznaczenia.Paragraf ten zawiera prze-gląd najważniejszych definicji i oznaczeń jakich będziemy używali w dalszejczęści tego artykułu.O wszystkich pojawiających się w tej pracy przestrzeniach zakładamy,że są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, a grecka literaρoznacza odpo-wiednią metrykę. Pisząc „przekształcenie” rozumiemy wszędzie „przekształ-cenie ciągłe”, w szczególności jeżelif:X→Xjest przekształceniem aXjestprzestrzenią, to piszemy krótko: „f jest przekształceniemX”.Dyskretnym układem dynamicznym(krótko:układem dynamicznym)bę-dziemy nazywali parę (X,f), gdzieXjest przestrzenią metryczną, natomiastfjest przekształceniem przestrzeniX.Nie będziemy tu jednak rozróżniaćmiędzy układem dynamicznym, czyli formalnie rzecz biorąc, parą (X,f),a zadającym go przekształceniemfi będziemy używać zamiennie terminów:„układ dynamiczny (X,f)” oraz „przekształcenief:X→X”.Zauważmy, żenie zakładamy, że przekształceniefjest odwracalne. Chcąc uniknąć nieporo-zumień, wielu autorów mówi w takiej sytuacji odyskretnych semiukładachdynamicznych.W niniejszej pracy nie ma jednak potrzeby rozgraniczeniamiędzy przypadkami przekształceń odwracalnych i nieodwracalnych.Przezfnoznaczamy przekształceniefzłożonenrazy ze sobą:fn=f◦. . .◦f:X→X,nrazyprzy czym umawiamy się, żef(x) =xdla wszystkichx∈X.Orbitąpunktux∈Xw układzie (X,f), nazywamy zbiórO(x) ={x, f(x),f2(x),f3(x),. . .}.Korzystając z naturalnego porządku jaki dasię wprowadzić na każdej orbicie możemy, gdy będzie to dla nas wygodne,orbitę utożsamiać z ciągiem o wyrazachxn=f(xn−1) =fn(x),gdzien≥0.Mówimy, że punktxjestpunktem okresowymdlaf, jeżeli istnieje liczbanaturalnan≥1 taka, żefn(x) =x. Wyróżniamy punkty okresowe speł-niające warunekf(x) =xi nazywamy jepunktami stałymiprzekształceniaf. Jeżelixjest punktem okresowym, to liczbę elementów orbityx, czylinajmniejszą liczbęn≥1 taką, żefn(x) =xnazywamyokresem pod-stawowympunktux. Orbitę punktu okresowego o okresie podstawowym [ Pobierz całość w formacie PDF ]