Teoria miary i całki - ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Szkicedowykładuz
Teoriimiaryicałki
dlaIIIrokumatematyki
(wykładmonograficzny)
1
drJarosławKotowicz
23czerwca2003roku
1
c
CopyrightJ.Kotowicz
Spistre±ci
12003.10.01/2h 7
1.1Przestrze«topologicznaimetryczna......................................... 7
1.2R............................................................. 7
1.3Klasypodzbiorówdanegozbioru........................................... 8
1.4Zadania......................................................... 9
22003.10.08/2h 11
2.1Klasypodzbiorówgenerowaneprzezrodziny..................................... 11
2.2Funkcjezbiorów..................................................... 12
2.3Zadania......................................................... 12
32003.10.15/2h 14
3.1Uzupełnieniepoprzedniegowykłady......................................... 14
3.2Funkcjezbiorów–miarydodatnieiznakowe..................................... 14
3.3Przykłady........................................................ 15
3.4Zadania......................................................... 15
42003.10.22/2h 16
4.1Przedłu»aniemiardodatniejzpółpier±cienianapier±cie«............................. 16
4.2Miarazewn¦trzna.................................................... 16
4.3Zadania......................................................... 16
52003.10.29/2h 18
5.1Miarazewn¦trznac.d. ................................................. 18
5.2Zadania......................................................... 19
62003.11.05/2h 20
6.1Przedłu»aniemiaryna
-pier±cie«.......................................... 20
6.2MiaraLebesgue’a.................................................... 20
6.3Zadania......................................................... 21
72003.11.12/2h 22
7.1MiaraLebesgue’ac.d. ................................................. 22
7.2MiaraLebesgue’a-Stieltjesa............................................. 22
7.3Odwzorowaniamierzalne ............................................... 23
7.4Zadania......................................................... 24
82003.11.19/2h 26
8.1Działanianafunkcjachmierzalnych.......................................... 26
8.2Poj¦ciefunkcjiprostej................................................. 27
8.3Zadania......................................................... 27
2
92003.11.26/2h 28
9.1Funkcjeproste–twierdzenieoaproksymacji..................................... 28
9.2Funkcjerównowa»ne.Zbie»no±¢prawiewsz¦dzie(wzgl¦demmiary)........................ 28
9.3Zadania......................................................... 29
102003.12.03/2h 30
10.1Zbie»no±¢prawiewsz¦dzie(wzgl¦demmiary).................................... 30
10.2Zbie»no±¢wzgl¦demmiary............................................... 30
10.3Zadania......................................................... 31
112003.12.10/2h 32
11.1Zbie»no±¢wzgl¦demmiaryc.d. ............................................ 32
11.2Zadania......................................................... 32
122003.12.17/2h 33
12.1Zbie»no±¢wzgl¦demmiaryc.d. ............................................ 33
12.2Zadania......................................................... 33
132003.01.14/2h 34
13.1CałkaLebesgue’a–definicjaiwłasno±ci....................................... 34
13.2Zadania......................................................... 35
142003.01.21/2h 36
14.1CałkaLebesgue’a–własno±cic.d............................................ 36
14.2Zadania......................................................... 36
15Egzamin 37
15.1Zagadnienianaegzamin–cz¦±¢teoretyczna..................................... 37
15.2Zadaniazegzaminu.................................................. 39
15.3Zadaniazegzaminupoprawkowego.......................................... 39
12003.02.18/2h 40
1.1AbstrakcyjnacałkaLebesgue’a–własno±cic.d.................................... 40
1.2Zadania......................................................... 40
22003.02.25/2h 41
2.1AbstrakcyjnacałkaLebesgue’a–własno±cic.d.................................... 41
2.2CałkaLebesgue’azale»naodparametru....................................... 41
2.3Zadania......................................................... 42
32003.03.04/2h 43
3.1FormalnazamianazmiennychwcałceLebesgue’a.................................. 43
3.2Przestrzenieproduktoweimiaryproduktowe.................................... 43
3.3Zadania......................................................... 44
42003.03.11/2h 45
4.1TwierdzenieFubiniego................................................. 45
4.2Zadania......................................................... 45
52003.03.18/2h 46
5.1Funkcjewypukłe.................................................... 46
5.2Nierówno±ciH¨oldera,Minkowskiego,Markowa,Jensena.............................. 47
5.3Zadania......................................................... 47
3
62003.03.25/2h 48
6.1Przestrzenie
L
p
(
X,
H
,µ
)dla
p
2
(0
,
+
1
]....................................... 48
6.2Zadania......................................................... 49
72003.04.01/2h 50
7.1Zbie»no±¢wprzestrzeniach
L
p
(
X,
H
,µ
) ....................................... 50
7.2Zbioryg¦stewprzestrzeniach
L
p
(
X,
H
,µ
)...................................... 50
7.3Zadania......................................................... 50
82003.04.08/2h 51
8.1PrzestrzenieBanacha,HilbertaiFr´echeta...................................... 51
8.2Przestrzenie
L
p
(
X,
H
,µ
)................................................ 52
8.3Zadania......................................................... 53
92003.04.15/2h 54
9.1Przestrzenie
L
p
(
X,
H
,µ
)c.d. ............................................. 54
9.2Funkcjezbioru.RozkładHahna............................................ 55
9.3Zadania......................................................... 55
102003.05.06/2h 56
10.1RozkładJordana.................................................... 56
10.2Absolutnaci¡gło±¢miar.Miaryifunkcjezbioruwzajemnieosobliwe....................... 56
10.3TwierdzenieRadona-Nikodyma........................................... 57
10.4Zadania......................................................... 57
112003.05.12/2h(za20.05.2003) 58
11.1WnioskiztwierdzeniaRadona-Nikodyma.PochodnaRadona-Nikodyma................... 58
11.2TwierdzenieLebesgue’aorozkładziekanonicznym................................. 58
11.3Zadania......................................................... 58
122003.05.13/2h 59
12.1Topologiarazjeszcze.................................................. 59
12.2TwierdzenieRieszaoreprezentacji .......................................... 60
12.3SchematdowodutwierdzeniaRieszaoreprezentacji................................. 60
12.4Zadania......................................................... 61
132003.05.27/2h 62
13.1DowódtwierdzeniaRieszaoreprezentacji ...................................... 62
13.2Zadania......................................................... 62
142003.06.03/2h 63
14.1Doko«czeniedowodutwierdzeniaRieszaoreprezentacji .............................. 63
14.2Miaryborelowskie.Regularno±¢miarborelowskich.................................. 63
14.3Zadania......................................................... 63
152003.06.10/2h 64
15.1Regularno±¢miarborelowskichc.d........................................... 64
15.2TwierdzenieŁuzina................................................... 64
15.3Zadania......................................................... 64
16Egzamin–semestrletni 65
16.1Listazagadnie«naegzaminustny........................................... 65
16.2Zadaniazegzaminupisemnego............................................ 67
4
Programwykładu
Planwykładumonograficznego
Teoriamiaryicałki
wrokuakademickim2002/2003
IIIrokmatematykaogólna-studiadzienne
60godzinwykładówprowadz¡cydrJ.Kotowicz
Zagadnieniawykładu
1
1.Przypomnieniewiadomo±ciztopologiiiteoriiprzestrzenimetrycznych.
1godz.
2.Klasypozbiorówdanegoniepustegozbioru:półpier±cienie,pier±cienie,
-pier±cienie,ciałai
-ciałazbioróworaz
rodzinymonotoniczne.
1godz.
3.Klasygenerowaneprzezrodzinyzbiorów.
1godz.
4.Funkcjezbiorówiichwłasno±ci
2godz.
5.Miarydodatnieiznakowe–własno±ci.Przykładymiar.
1godz.
6.Miarazewn¦trzna.
2godz.
7.Twierdzenieorozszerzaniumiaryzpier±cienia.Zbiorymierzalnewzgl¦demmiary.
4godz.
8.Miarazewn¦trzna.TwierdzenieCaratheodory’ego.
3godz.
9.Funkcjemierzalneidziałaniananich.Przestrzeniemierzalneiprzestrzeniezmiar¡.
4godz.
10.Twierdzenieoaproksymacjifunkcjamiprostymi.
2godz.
11.Zbie»no±¢prawiewsz¦dzieizbie»no±ciwedługmiaryiichanaliza.TwierdzenieRiesza,Jegorowa,Łuzinaitp.
3godz.
12.Konstrukcjacałkiijejwłasno±ci.
6godz.
13.LematFatou.TwierdzenieLebesgue’azbie»no±cimonotonicznejizbie»no±ciograniczonej.
3godz.
14.CałkaLebesgue’awR
n
.
1godz.
15.Nierówno±citypuH¨oldera,Minkowskiegoitp.Nierówno±cispotykanewrachunkuprawdopodobie«stwa.
3godz.
16.Miaryproduktowe.TwierdzenieFubiniego.
4godz.
17.Podstawowewiadomo±cioprzestrzeniachBanacha,HilbertaiFr´echeta.
2godz.
18.Przestrzenie
L
p
,
p
­
1Lebesgue’ajakoprzestrzenieBanacha.Przestrze«
L
p
,0
<p<
1Lebesgue’ajakoprzestrzenie
Fr´echeta.Przestrze«
L
2
jakoprzestrze«Hilberta.
3godz.
19.Zbioryg¦stewprzestrzeniach
L
p
.
2godz.
20.FunkcjonałyitwierdzenieRieszaoreprezentacjifunkcjonałuliniowegoci¡głego.
2godz.
21.Ró»niczkowanie(prawiewsz¦dzie).TwierdzeniaLebesgue’aoró»niczkowaniucałkiiRademacheraitp.
4godz.
1
Mog¡uleczmianie
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]