Teoria miary zad + odp

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->1. Przestrzenie mierzalneĆw. 1.1Rozważmy rodzinęAzłożoną ze wszystkich skończonych podzbiorów zbioruNoraz ich dopełnień, tzn.A={A⊆N;A <+∞ lubAc<+∞}.Pokaż, żea)Ajest algebrą Boole’a,b)Anie jestσ-algebrą(wskazówka: rozważ np. zbiory postaciAk={2k}).Ćw. 1.2Udowodnij, żea({{n1, n2};n1, n2∈N})=a({n};n∈N),gdzie Ω =N.Ćw. 1.3NiechC ⊆2ΩorazC1=C ∪ {∅,Ω}∪ {Ac;A∈ C},C2={skończoneprzekroje zbiorów z klasyC1},C3={sumyskończone rozłącznych elementów z klasyC2}.1.Pokaż, żeC3jest zamknięta ze względu na przekroje, tzn.B, D∈ C3⇒B∩D∈ C3.2.Pokaż, że jeśliB∈ C2, toBc∈ C3.3.Uzasadnij, żeC3jest algebrą Boole’a orazC3=a(C).Ćw. 1.4Niech Ω = (0, 1),An= (0,n−1),n∈N.Czya({An})=σ({An})?nĆw. 1.5Niech Ω =R,C1={(n,n+ 1) ;n∈Z},C2={[n,n+ 1] ;n∈Z}.Sprawdź, czyzachodzą inkluzje:σ(C1)⊆σ(C2) iσ(C2)⊆σ(C1).Ćw. 1.6(zbiory borelowskie)PrzezBnoznaczamyσ-algebręgenerowaną przez wszystkie zbiory otwarte w prze-strzeniRn. ElementyBnnazywamyzbiorami borelowskimi.Czy następujące zbiory są zbiorami borelowskimi: zbiór domknięty, zbiór jednopunk-towy, zbiór liczb wymiernych w przestrzeniR1, zbiór liczb niewymiernych w prze-strzeniR1?Ćw. 1.7NiechC={(−∞,q];q∈Q}.Pokaż, żeB1=σ(C).(Wskazówka: można skorzystać z faktu, żeB1=σ(S1), gdzieS1={(−∞,a];a∈R}).1. Przestrzenie mierzalne - rozwi¡zaniaw. 1.1a) Pokazujemy, »e speªnione s¡ warunki z denicji algebry Boole'a:•Ø orazNnale»¡ doA.Ø= 0, wi¦c Ø∈ A.Nc= 0, wi¦cN∈ A.•Je±liA∈ A, toAc∈ A.A∈ A, tzn, »eA <+∞lubAc<+∞. Wtedy(Ac)c<+∞lubAc<+∞,a to oznacza, »eAc∈ A.•Je±liA, B∈ A, toA∪B∈ A.DlaAiBnale»¡cych doAistniej¡ cztery mo»liwo±ci:-A <+∞iB <+∞. Wtedy(A∪B) <+∞, czyliA∪B∈ A.-A <+∞iBc<+∞. Wtedy(A∪B)c≤Bc<+∞, czyliA∪B∈ A.-Ac<+∞iBc<+∞. Wtedy(A∪B)c≤Bc<+∞, czyliA∪B∈ A.-Ac<+∞iB <+∞. Wtedy(A∪B)c≤Ac<+∞, czyliA∪B∈ A.b) Istnieje ci¡g zbiorów{Ak={2k}}k=1,2,..., gdzieAk∈ Adla ka»degok= 1, 2,...oraz∞Ak={2k;k∈N}∈ A, gdy»A= +∞orazAc= +∞./k=1w. 1.2Dla dowolnychn1, n2∈N,n1=n2zachodzi{n1, n2}={n1} ∪ {n2} ∈a({n}; n∈N),a({{n1, n2};n1, n2∈N;n1=n2}) ⊆a({n};n∈N).Z drugiej strony dla dowolnegon∈Nzachodzi{n}={n,n+1}∩{n, n+2}= ({n,n+1}c∪{n,n+2}c)c∈a({{n1, n2};n1, n2∈N;n1=n2}),zatemzatemw. 1.3a({{n1, n2};n1, n2∈N;n1=n2}) ⊇a({n};n∈N).C3⊆a(C), gdy» zbiory zC3s¡ uzyskane jako wynik dziaªa« dopuszczalnych walgebrze na elementach klasyC. Nale»y zatem pokaza¢, »ea(C)⊆ C3. W tym celuwystarczy sprawdzi¢, »eC3jest algebr¡ (gdy»C ⊆ C3).•Ø,Ω∈ C3•A∈ C3⇒Ac∈ C3Ajest postaciA=ni=1Ai,Ai∈ C2. ZatemnnAc= (i=1Ai)c=i=1Ac∈ C3ina podstawie a) i b).•A, B∈ C3⇒A∪B∈ C3A∪B= (Ac∩Bc)c∈ C3na podstawie poprzedniego punktu oraz a).Uzasadnienie punktu a):NiechB, D∈ C3, tzn.B=nni=1Bi,D=mmj=1Dj,Bi, Dj∈ C2. WtedynmB∩D=(i=1Bi)∩(j=1Dj) =i=1 j=1Bi∩Dj∈ C3.Uzasadnienie punktu b):NiechB∈ C2, tzn.B=ni=1Bi,Bi∈ C1. WtedynnBc= (i=1Bi)c=i=1Bic∈ C3,poniewa»Bic∈ C1⊆ C2.w. 1.4Zauwa»my, »e1 22 31(0, 1) = (0, ) + [,) + [,) +...=22 33 4=J1+J2+J3+... .mmZatema({An;n∈N})={Ø,(0, 1),Jkn,(n=1mn=1Jkn)c, m∈N}orazσ({An;n∈N})={Ø,(0, 1),n=1Jkn, m∈N∪ {∞}}.Wida¢, »e zbiory postacia({An;n∈N}).w. 1.5∞n=1J2nnale»¡ doσ({An;n∈N}), a nie nale»¡ doPoniewa»∞∞(n,n+1)=R\((−∞,n]∪[n+1,+∞)) =R\(k=1[n−k,n−k+1]∪k=1[n+k,n+k+1]) ,wi¦cσ(C1)⊆σ(C2).Druga inkluzja nie zachodzi, poniewa»{n}= [n−1,n]∩[n,n+ 1]∈σ(C2),ale{n} ∈σ(C1), gdy»σ(C1)skªada si¦ z przeliczalnych sum zbiorów postaci(n,n+1),/n∈Z.w. 1.6Zbiór domkni¦ty jest borelowski, poniewa» jest dopeªnieniem zbioru otwartego.Zbiór jednopunktowy jest borelowski, poniewa» jest domkni¦ty.Zbiór liczb wymiernych jest borelowski, poniewa» jest przeliczaln¡ sum¡ zbiorówjednopunktowych.Zbiór liczb niewymiernych jest borelowski, poniewa» jest dopeªnieniem zbioru liczbwymiernych.Poniewa»σ(S1)⊇S1⊇ C, wi¦cσ(S1)⊇σ(C).Pozostaje pokaza¢, »eσ(S1)⊆σ(C). W tym celu wystarczy pokaza¢, »eS1⊆σ(C).We¹my wi¦c dowolny element klasyS1, tzn.(−∞,a],a∈R1. Istnieje ci¡g(qj)⊆Qtaki, »eqja. Otrzymujemy∞∞w. 1.7(−∞,a]=j=1(−∞,qj] = (j=1(−∞,qj]c)c∈σ(C) ,poniewa» dla ka»degojzachodzi(−∞,qj]∈ C ⊆σ(C).1. Przestrzenie mierzalne – zadania do samodzielnegorozwiązaniaZad. 1.1Udowodnij, że jeśliAiBsą algebrami (σ-algebrami), toA ∩ Bjest także algebrą(σ-algebrą).Zad. 1.2Podaj przykład algebr (σ-algebr)AiB,dla którychA ∪ Bnie jest algebrą(σ-algebrą).Zad. 1.3Opisz algebrę iσ-algebrępodzbiorówNgenerowane przez wszystkie zbiory jed-noelementowe.Zad. 1.4Opisz algebrę iσ-algebrępodzbiorówRgenerowane przez wszystkie półprostepostaci (n, +∞),n∈Z.Zad. 1.5Udowodnij, że suma wstępującego ciągu algebr jest algebrą. Podaj przykład, żewłasność ta nie jest prawdziwa dlaσ-algebr.Zad. 1.6Udowodnij, że jeśli{At;t∈T}jest niepustą rodziną algebr (σ-algebr) pod-zbiorów przestrzeni Ω, to przekrójt∈TAtjest algebrą (σ-algebrą) podzbiorów tejprzestrzeni.Zad. 1.7Znajdź najmniejszą algebrę podzbiorów przestrzeniRzawierającą wszystkiezbiory jednopunktowe.Zad. 1.8Znajdź najmniejsząσ-algebrępodzbiorów przestrzeniRzawierającą wszystkiezbiory dwuelementowe.Zad. 1.9Dane sąσ-algebrypodzbiorów przestrzeniR:σ1σ2σ3σ4σ5σ6σ7σ8=σ({(a, b); a, b∈R,a < b}),=σ({[a, b]; a, b∈R,a < b}),=σ({[a, b); a, b∈R,a < b}),=σ({(a, b]; a, b∈R,a < b}),=σ({(−∞, a); a∈R}),=σ({(−∞, a]; a∈R}),=σ({(a,+∞);a∈R}),=σ({[a,+∞);a∈R}),i<jσ9=σ({(p, q); p, q∈Q,p < q}),σ10=σ({[p, q]; p, q∈Q,p < q}),σ11=σ({[p, q); p, q∈Q,p < q}),σ12=σ({(p, q]; p, q∈Q,p < q}),σ13=σ({(−∞, p); p∈Q}),σ14=σ({(−∞, p]; p∈Q}),σ14=σ({(p,+∞);p∈Q}),σ16=σ({[p,+∞);p∈Q}).Dla każdych 116 udowodnij, żeσi=σj. [ Pobierz całość w formacie PDF ]