Teoria obwodow - Osowski

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Lekcja 1. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych
Wst
p
Lekcja pierwsza wprowadza podstawowe poj
cia i prawa obwodów elektrycznych, w tym
pr
d i napi
cie, elementy liniowe obwodu w postaci rezystora, cewki i kondensatora oraz
ródła sterowane i niezale
ne. Najwa
niejszym prawem teorii obwodów jest prawo pr
dowe i
napi
ciowe Kirchhoffa, podane tutaj w postaci ogólnej. Z prawa Kirchhoffa wynikaj
reguły
upraszczania obwodów, zdefiniowane dla poł
czenia szeregowego, równoległego oraz
transfiguracji gwiazda-trójk
t i trójk
t-gwiazda.
1.1. Podstawowe poj
cia obwodów
Teoria obwodów stanowi jedn
z dziedzin elektrotechniki zajmuj
c
si
stron
teoretyczn
zjawisk wyst
puj
cych w obwodach elektrycznych, w tym metodami analizy rozpływu
pr
dów i rozkładu napi
obwodu w stanie ustalonym i nieustalonym. Przyjmuje si
,
e
no
nikami elektryczno
ci s
cz
stki elementarne: elektrony i protony wyst
puj
ce w atomie.
W przypadku przewodników elektrycznych najwa
niejsz
rol
odgrywaj
elektrony
swobodne, stanowi
ce trwałe no
niki ujemnego ładunku
q
, wyzwolone z przyci
gania j
dra
atomu oraz jony, stanowi
ce cz
steczki naładowane dodatnio lub ujemnie. Ładunek
elektryczny elektronu, oznaczany jest liter
e
a jego warto
e
=1,602×10
-19
C.
Pr
d elektryczny
powstaje jako uporz
dkowany ruch ładunków elektrycznych i jest uto
samiany
w teorii obwodów z poj
ciem nat
enia pr
du elektrycznego. W ogólno
ci definiowany jest jako
granica stosunku ładunku elektrycznego przepływaj
cego przez przekrój poprzeczny elementu do
rozpatrywanego czasu, gdy czas ten d
y do zera. Pr
d elektryczny oznaczany b
dzie liter
i
(du
lub
mał
). Jest wielko
ci
skalarn
a jej jednostk
w układzie SI jest
amper
(A).
Ka
demu punktowi w
rodowisku przewodz
cym pr
d elektryczny mo
na przyporz
dkowa
pewien potencjał mierzony wzgl
dem punktu odniesienia. Ró
nica potencjałów mi
dzy dwoma
punktami tego
rodowiska nazywana jest
napi
ciem elektrycznym
. Jednostk
napi
cia elektrycznego
jest
volt
(V).
1
1.2. Elementy obwodu elektrycznego
Za
obwód elektryczny
uwa
a
b
dziemy takie poł
czenie elementów ze sob
,
e istnieje mo
liwo
przepływu pr
du w tym poł
czeniu. Obwód jest odwzorowywany poprzez swój schemat, na którym
zaznaczone s
symbole graficzne elementów oraz sposób ich poł
czenia ze sob
, tworz
cy okre
lon
struktur
.
Na struktur
obwodu elektrycznego poza elementami składaj
si
równie
gał
zie, w
zły i
oczka.
Gał
obwodu jest tworzona przez jeden lub kilka elementów poł
czonych ze sob
w
okre
lony sposób.
W
złem
obwodu jest zacisk b
d
cy ko
cówk
gał
zi, do którego mo
na doł
czy
nast
pn
gał
lub kilka gał
zi. Gał
obwodu tworz
elementy ograniczone dwoma w
złami.
Oczko
obwodu to zbiór gał
zi poł
czonych ze sob
i tworz
cych drog
zamkni
t
dla pr
du elektrycznego.
Oczko ma t
wła
ciwo
,
e po usuni
ciu dowolnej gał
zi ze zbioru pozostałe gał
zie nie tworz
drogi
zamkni
tej. W obwodzie o zadanej strukturze istnieje
ci
le okre
lona liczba w
złów, natomiast liczba
oczek jest wprawdzie sko
czona ale bli
ej nieokre
lona.
Element
jest cz
ci
składow
obwodu niepodzieln
pod wzgl
dem funkcjonalnym bez utraty
swych cech charakterystycznych. Na elementy obwodu składaj
si
ródła energii elektrycznej oraz
elementy akumuluj
ce energi
lub rozpraszaj
ce j
. W ka
dym elemencie mog
zachodzi
dwa lub
nawet wszystkie trzy wymienione tu procesy, cho
jeden z nich jest zwykle dominuj
cy. Element jest
idealny je
li charakteryzuje go tylko jeden rodzaj procesu energetycznego.
Elementy posiadaj
ce zdolno
akumulacji oraz rozpraszania energii tworz
klas
elementów
pasywnych
. Nie wytwarzaj
one energii a jedynie j
przetwarzaj
. Najwa
niejsze z nich to
rezystor,
kondensator
oraz
cewka.
Elementy maj
ce zdolno
generacji energii nazywane s
ródłami
.
Zaliczamy do nich
niezale
ne
ródło napi
cia
i
pr
du
oraz
ródła sterowane
.
Ka
dy element obwodu mo
e by
opisany równaniami algebraicznymi lub ró
niczkowymi,
wi
cymi pr
d i napi
cie na jego zaciskach.
Element
jest
liniowy
, je
li równanie opisuj
ce go jest
liniowe. W przeciwnym wypadku element jest
nieliniowy
.
1.2.1. Rezystor
Rezystor, zwany równie
opornikiem nale
y do klasy elementów pasywnych rozpraszaj
cych energi
.
W teorii obwodów rezystor uwa
a si
za element idealny i przypisuje mu tylko jedn
cech
(parametr), zwan
rezystancj
lub oporem. W dalszej cz
ci rozwa
a
b
dziemy wył
cznie rezystor
liniowy. Rezystancj
(oporno
) oznacza
b
dziemy liter
R
a jej odwrotno
jest nazywana
konduktancj
i oznaczana liter
G
, przy czym
R
= 1/
G
. Symbol graficzny rezystora liniowego
przedstawiony jest na rys. 1.1.
2
Rys. 1.1. Oznaczenie rezystora liniowego
Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym
u
=
Ri
R
(0.1)
Spadek napi
cia na rezystorze liniowym jest proporcjonalny do pr
du przepływaj
cego przez niego a
współczynnik proporcjonalno
ci jest równy rezystancji
R
. Warto
rezystancji rezystora liniowego
przyjmuje warto
stał
. Jednostk
rezystancji jest
om
(W) a konduktancji
siemens
(S).
W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany najcz
ciej z drutu metalowego o długo
ci
l
, polu przekroju poprzecznego
S
i rezystancji wła
ciwej r. Rezystancja takiego opornika jest wprost
proporcjonalna do
l
i r a odwrotnie proporcjonalna do
S
, st
d
R
= r
l
/
S
.
1.2.2. Cewka
Cewka zwana równie
induktorem nale
y równie
do klasy elementów pasywnych. Ma
zdolno
gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej przypisuje si
tylko
jedn
wła
ciwo
, zwan
indukcyjno
ci
własn
(w skrócie indukcyjno
ci
)
L
. W przypadku
cewki liniowej indukcyjno
definiuje si
jako stosunek strumienia Y skojarzonego z cewk
do pr
du płyn
cego przez ni
, to znaczy
L
=
Y
(0.2)
i
L
Strumie
skojarzony Y cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów
cewki, to jest
Y
=
z
(f - strumie
skojarzony z jednym zwojem cewki,
z
– liczba zwojów).
Jednostk
indukcyjno
ci jest
henr
(H), przy czym 1H = 1Ws. Napi
cie cewki wyra
one jest
jako pochodna strumienia wzgl
dem czasu
3
R
 u
L
=
d
Y
(0.3)
dt
W przypadku cewki liniowej, dla której strumie
jest iloczynem pr
du i indukcyjno
ci
L
,
Y
=
Li
L
, relacja napi
ciowo-pr
dowa upraszcza si
do postaci
u
=
L
di
L
(0.4)
L
dt
Na rys. 1.2 przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjno
ci
L
.
Rys. 1.2. Symbol graficzny cewki liniowej
Zauwa
my,
e przy stałej warto
ci pr
du cewki napi
cie na niej jest równe zeru, gdy
pochodna warto
ci stałej wzgl
dem czasu jest równa zeru. St
d cewka w stanie ustalonym
obwodu przy pr
dzie stałym zachowuje si
jak zwarcie.
Interesuj
ce zjawiska powstaj
w układzie dwu cewek poło
onych blisko siebie, w
których zachodzi wzajemne przenikanie si
strumieni magnetycznych. Je
li dwie cewki o
indukcyjno
ciach własnych
L
i
L
s
tak usytuowane,
e strumie
wytworzony przez jedn
z
nich jest skojarzony z drug
to takie cewki nazywamy sprz
onymi magnetycznie. Na rys. 1.3
przedstawiono oznaczenie cewek sprz
onych magnetycznie. Gwiazdkami oznaczono
pocz
tki uzwoje
ka
dej cewki.
Rys. 1.3. Oznaczenie cewek sprz
onych magnetycznie
4
2
Obok indukcyjno
ci własnej wprowadza si
dla nich poj
cie
indukcyjno
ci wzajemnej
M
,
jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z
cewk
drug
do pr
du płyn
cego w cewce pierwszej, a wi
c
M
=
Y
21
=
Y
12
(1.5)
i
i
1
2
gdzie
2
y oznacza strumie
skojarzony z cewka drug
wytworzony przez pr
d płyn
cy w
cewce pierwszej a
1
y – strumie
skojarzony z cewka pierwsz
wytworzony przez pr
d
płyn
cy w cewce drugiej. Jednostk
indukcyjno
ci wzajemnej jest równie
henr
.
Istnienie sprz
enia magnetycznego powoduje indukowanie si
napi
na cewce
wskutek zmian pr
du płyn
cego w cewce drugiej. Zgodnie z prawem indukcji
elektromagnetycznej napi
cie wytworzone na skutek indukcji wzajemnej okre
lone jest
wzorem
u
M
=
L
di
1
±
M
di
2
(1.6)
1
1
dt
dt
u
M
=
L
di
2
±
M
di
1
(1.7)
2
2
dt
dt
Znak plus lub minus wyst
puj
cy we wzorze jest uzale
niony od przyj
tego zwrotu pr
du
wzgl
dem pocz
tku uzwojenia cewki. Przyjmuje si
znak plus, je
li pr
dy w obu elementach
sprz
onych magnetycznie maj
jednakowe zwroty wzgl
dem zacisków oznaczaj
cych
pocz
tek uzwojenia (oznaczone na rysunku gwiazdk
). Przy zwrotach przeciwnych przyjmuje
si
znak minus. Z zale
no
ci powy
szych wida
,
e w elementach sprz
onych magnetycznie
energia elektryczna mo
e by
przekazywana z jednego elementu do drugiego za
po
rednictwem pola magnetycznego. Co wi
cej, nawet przy braku przepływu pr
du przez
cewk
, mo
e na niej pojawi
si
napi
cie pochodz
ce ze sprz
enia magnetycznego od cewki
drugiej.
1.2.3. Kondensator
Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje mo
liwo
gromadzenia
energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si
tylko jedn
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]