Teoria Ukladów ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Matematyka stosowanaWstęp do teorii UkładówDynamicznychAnna ZdunikAnna.Zdunik@mimuw.edu.plUniwersytet Warszawski, 2011Streszczenie.Ten materiał jest przeznaczony dla słuchaczy wykładu UkładyDynamiczne. Zawiera opis podstawowych narzędzi i idei pojawiających się wteorii gładkich układów dynamicznych. Ze względu na niewielki zakres wykła-du, część poświęcona bardzo ważnemu opisowi przy użyciu metod probabili-stycznych (ergodycznych) jest tu ograniczona. Tekst skryptu będzie stopnioworozszerzany.Wersja internetowa wykładu:(może zawierać dodatkowe materiały)Niniejsze materiały są dostępne nalicencji Creative Commons 3.0 Polska:Uznanie autorstwa — Użycie niekomercyjne — Bez utworów zależnych.Copyright c A.Zdunik, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2011. Niniejszyplik PDF został utworzony 23 czerwca 2011.Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramachEuropejskiego Funduszu Społecznego.ASkład w systemie L TEX, z wykorzystaniem m.in. pakietówbeamerorazlistings.Szablony podręcznika i prezentacji:Piotr Krzyżanowski; koncept: Robert Dąbrowski.Spis treści1. Układy dynamiczne- definicje i przykłady. . . . . . . . . . . .1.1. Co to jest układ dynamiczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Najprostsze przykłady. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Topologiczna tranzytywność: przykład- przesunięcie na torusie2. Układy dynamiczne na okręgu. . . . . .2.1. Najprostszy układ- obrót na okręgu. .2.2. Homeomorfizmy okręgu. Liczba obrotu2.3. (Pół)sprzężenie z obrotem i Twierdzenie. . . . .. . . . .. . . . .Denjoy....................................................................................................................................................5557. 9. 9. 10. 113. Strukturalna stabilność. Układy Morse’a-Smale’a na okręgu. . . . . . . . . . . .3.1. Pojęcie strukturalnej stabilności dla przekształceń i dla pól wektorowych. . . . . .3.1.1. Metryki i topologie w przestrzeniach przekształceń i w przestrzeniach pólwektorowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Równoważność i sprzężenie między polami wektorowymi i dyfeomorfizmami3.1.3. Strukturalna stabilność. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Strukturalnie stabilne dyfeomorfizmy okręgu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Strukturalnie stabilne pola wektorowe na okręgu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Przekształcenia odcinka. Chaos na odcinku. . . . . . . . . . . .4.1. O poszukiwaniu punktów okresowych dla przekształceń odcinka4.2. Twierdzenie Szarkowskiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Bifurkacja podwajania okresu. Obserwacja Feigenbauma. . . . ........................................................... . . 15. . . 15..........................................................................151516161820202122232324262828283232343435384047505254555. Pola wektorowe na rozmaitościach. Zbiory graniczne i zbiór punktówniebłądzących. Pola gradientowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1. Zachowanie asymptotyczne trajektorii. Zbiórω-graniczny.. . . . . . . . . . . . .5.2. Pola gradientowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Cięcia transwersalne i przekształcenie Poincare’go w otoczeniu orbity okresowej.6. Rozmaitości stabilne i niestabilne. Twierdzenia o6.1. Hiperboliczne punkty stałe i stacjonarne. . . . . .6.2. Twierdzenia Grobmana- Hartmana. . . . . . . . .6.3. Twierdzenie Hadamarda-Perrona. . . . . . . . . .6.4. Globalne rozmaitości stabilne i niestabilne. . . . .ich istnieniu i. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .własnościach. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .7. Pola Morse’a-Smale’a. Dyfeomorfizmy Morse’a- Smale’a.Smale’a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1. Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse’a- Smale’a. . . . .7.2. Ω-eksplozja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.λlemat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4. Podkowa Smale’a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Zbiory hiperboliczne. Dyfeomorfizmy i potoki Anosowa.hiperbolicznych.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Solenoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Dyfeomorfizmy Anosowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3. Stabilność zbiorów hiperbolicznych. . . . . . . . . . . . . .8.4. DA atraktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω-eksplozja. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .Stabilność. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .i podkowa. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . ...........zbiorów. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .9. Przekształcenia zachowujące miarę. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Spis treści9.1. Podstawowe definicje i fakty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2. Twierdzenie ergodyczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.3. Przykłady przekształceń ergodycznych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.Jak szukać miar niezmienniczych. . . . . . . .10.1. Twierdzenie Kryłowa- Bogoliubowa. . . . . .10.2. O sposobach szukania miar niezmienniczych wPerrona-Frobeniusa. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63klasie miary Lebesgue’a. Operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6511.O gładkich miarach niezmienniczych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.1. Twierdzenie Liouville’a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2. Równania Lagrange’a i Hamiltona. Potoki geodezyjne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.Potok geodezyjny na rozmaitości opotoku Anosowa. . . . . . . . . . . .12.1. Metryka hiperboliczna. . . . . . .12.2. Potok geodezyjny wH2. . . . . .stałej. . . .. . . .. . . .ujemniej. . . . . .. . . . . .. . . . . .krzywiźnie-. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .ważny przykład. . . . . . . . . . . . . 75. . . . . . . . . . . . . 75. . . . . . . . . . . . . 76. . . 79. . . 79. . . 80....................................81818282838384858787888813.Zbiory hiperboliczne i ergodyczność. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.1. Geometryczny dowód ergodyczności dla prostego układu hiperbolicznego. . . . . .13.2. Potok geodezyjny na rozmaitości o stałej ujemnej krzywiźnie- ergodyczność. . . . .13.3. Potoki geodezyjne na wybranych powierzchniach; przykłady całkowalnych potokówgeodezyjnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3.1. Potok geodezyjny na sferze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3.2. Potok geodezyjny na torusieT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3.3. Potok geodezyjny na elipsoidzie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.O entropii metrycznej. . . . .14.1. Entropia rozbicia. . . . . . .14.2. Entropia przekształcenia. .14.3. Jak liczyć entropię metryczna........................................................................................................................................................................................................................................15.O entropii topologicznej. . . . . . . .15.1. Definicja entropii. . . . . . . . . . .15.2. Związki z entropią metryczną. . . .15.3. Związki ze stopniem przekształceniaLiteratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901. Układy dynamiczne- definicje i przykłady1.1. Co to jest układ dynamiczny— Układ dynamiczny (topologiczny)X-przestrzeń topologiczna (najczęściej- metryczna),φ:X→X-przekształcenie ciągłe.— Układ dynamiczny (metryczny)(X,M,µ)-przestrzeń z miarą probabilistyczną.φ:X→Xprzekształcenie mierzalne zachowujące miaręµ.Tu definicja:Definicja 1.1.(X,M,µ)przestrzeń z miarą. Mówimy że przekształcenieφ:X→Xjestmierzalne jeśli dla każdegoA∈ Mprzeciwobrazφ−1(A) również należy doσ-ciałaM.Definicja 1.2.Przekształcenie mierzalneφ:X→Xzachowuje miaręµjeśli dla każdegoA∈ Mµ(φ−1(A)) =µ(A).— Układ dynamiczny (gładki), z czasem dyskretnymM- gładka rozmaitość,f:M→Mdyfeomorfizm (lub endomorfizm) klasyC1— Układ dynamiczny (gładki) z czasem ciąglymM- gładka rozmaitość (na ogół zakłada się też zwartość),X-pole wektorowe naM, klasyC1,φt- potok pola wektorowegoX.Jest to rodzina dyfeomorfizmów, tznϕt+s=ϕt◦ϕsdtφ(x)|t=t=X(φt(x))dtJeśli rozmaitość jest zwarta to z twierdzenia o przedłużaniu trajektorii wynika że potok polawektorowegoXjest określony dla wszystkicht∈R.Rodzina przekształceńφtjest więcjednoparametrową grupą dyfeomorfizmówM.Definicja 1.3.NiechTbędzie układem dynamicznym z czasem dyskretnym. Trajektorią punk-tuxnazywamy ciąg nieskończonyx, T x, . . . Tnx, . . ..1.2. Najprostsze przykładyPrzykład 1.1(Obrót na okręgu). NiechS1={z:|z|= 1}; określamy przekształacenieT α(z)=e2πiαzTo przekształcenie zachowuje oczywiście miarę Lebesgue’a na okręgu. Zauważmy że jeśliαjestwymierne- każda trajektoria jest okresowa, a gdyαjest niewymierne- każda trajektoria jestgęsta (dlaczego?).Przykład 1.2(Przesunięcie na torusie). Torus możemy utożsamiać z przestrzenią ilorazowąR2/Z2; gdzie relacja utożsamienia jest następująca:(x1, y1)≈(x2, y2)⇐⇒(x1−x2, y1−y2)∈Z2Zatem - torus można też utożsamiać z produktem dwóch okręgówS1×S1. Na płaszczyźnierozważamy przekształcenie (x,y)→(x +a, y+b).Wyznacza ono przekształcenie torusaS1×S1(z1, z2)→w1z1, w2z2Wstęp do teorii Układów Dynamicznych c A.Zdunik, Uniwersytet Warszawski, 2011. [ Pobierz całość w formacie PDF ]