teoria v1.02

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.
PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA
Niech będą dane: niepusty zbiór Ω, pewna rodzina Σ podzbioru zbioru Ω i funkcja P:Σ
→
R.
Trójkę (Ω, Σ, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli Σ jest
-algebrą, a P miarą probabilistyczną tzn:
a) Ω
=
Σ
b) Jeśli A
1
, A
2
, A
3
, …єΣ to
⋃
єΣ
c) Jeśli AєΣ to A’=Ω\AєΣ
d) Jeśli AєΣ to P(A)
≥
0
e) Jeśli zbiór A
1
, A
2
, A
3
, …єΣ, A
i
∩
A
j
=
∅
dla i
≠
j to P(
⋃
)=
∑
(
)
f) P(Ω)=1
2.
PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE
(Ω, Σ, P) – przestrzeń probabilistyczna, AєΣ, P(A)>0. Dla dowolnego BєΣ określamy jego prawdopodobieństwo
warunkowe P(B|A) wzorem P(B|A)=
(
∩
)
()
3.
PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE
(Ω, Σ, P) – przestrzeń probabilistyczna i zdarzenia A
1
, A
2
, …, A
n
єΣ spełniają warunki:
1. P(A
i
)>0 dla i=1, 2, …, n
2. A
i
∩
A
j
=
∅
dla i
≠
j
3. A
1
, A
2
, …, A
n
= Ω
wtedy dla każdego zdarzenia BєΣ zachodzi P(B)=
∑
(|
)∗
(
)
4.
TWIERDZENIE BAYESA
(Ω, Σ, P) – przestrzeń probabilistyczna i zdarzenia A
1
, A
2
, …, A
n
єΣ spełniają warunki:
1. P(A
i
)>0 dla i=1, 2, …, n
2. A
i
∩
A
j
=
∅
dla i
≠
j
3. A
1
, A
2
, …, A
n
= Ω
wtedy zachodzi równość P(A
k
|B)=
(
|
)∗
(
)
∑ (|
)∗
(
)
, k=1, 2, …, n
5.
ZDARZENIA NIEZALEŻNE
Zdarzenia A
1
, A
2
, …, A
n
są niezależne, jeśli dla każdego podciągu A
k1
, …, A
kn
zachodzi:
P(A
k1
∩
A
k2
∩
…
∩
A
kn
) = P(A
k1
)*P(A
k2
)*…*P(A
kn
)
6.
ZMIENNA LOSOWA
(Ω, Σ, P) – przestrzeń probabilistyczna. Zmienną losową nazywamy funkcję X określoną Ω
→
R spełniającą warunek:
{wє Ω:X(w)
≤
x}єΣ dla każdego xєR.
7.
DYSTRYBUANY ZMIENNEJ LOSOWEJ
Funkcja F
X
daną wzorem F
X
(x)=P(X
≤
x) gdzie P(X
≤
x)=(P({wє Ω:X(w)
≤
x}))
8.
ZMIENNA LOSOWA O ROZKŁADZIE DYSKRETNYM (SKOKOWYM)
Zmienną losową X nazywany zmienną losową o rozkładzie dyskretym jeśli istnieje przeliczalny zbiór K taki, że
P(xєK)=1
9.
ROZKŁAD JEDNOPUNKTOWY
Zmienna losowa X na rozkład jednopunktowy jeśli istnieje x
0
єR:P(X=x
0
)=1, K={x
0
}, P(x
0
)=P(X=x
0
)=1
10.
ROZKŁAD DWUPUNKTOWY
Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy jeśli istnieje x
1
, x
2
єR:pє (0,1) takie, że P(X=x
1
)=p, P(X=x
2
)=1-p
11.
ROZKŁAD DWUMIANOWY (ROZKŁAD BERNULLEGO)
Schematem Bernullego nazywamy ciąg takich samych niezależnych doświadczeń, z których każde kończy się
zajściem zdarzenia A lub jego nie zajściem.
12.
ROKŁAD POISSONA
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ jeśli P(X=k) =
!
, k=0, 1, …
13.
ROZKŁAD GEOMETRYCZNY
Nieskończony schemat Bernullego o prawdopodobieństwie sukcesów w pojedyńczej próbie p. X – nr próby, w
której po raz pierwszy wystąpił sukces. Wówczas prawdopodobieństwo: P(X=k)=p(1-p)
k-1
, k=1, 2, ….Nazywamy
rozkładem geometrycznym=czas oczekiwania na pierwszy sukces w rozkładzie Bernullego.
14.
ZMIENNA LOSOWA O ROZKŁADZIE CIĄGŁYM
Zmienna losowa X na rozkład ciągły jeśli istnieje taka nieujemna funkcja f, że F
X
(x)=
∫
()
. Funckję f
nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X lub jej gęstością
15.
ROZKŁAD JEDNOSTAJNY
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (a, b) jeśli x ma gęstość postaci
(
)
=
1
∗
∈(,)
0∉(,)
16.
ROZKŁAD WYKŁADNICZY
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ jeśli x ma gęstość postaci
()=
∗
>0
0≤0
17.
ROZKŁAD NORMALNY (ROZKŁAD GAUSA)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i δ jeśli ma gęstość
()=
√
∗
(
)
∗
18.
STANDARDOWY ROZKŁAD NORMALNY
Rozkład N(0, 1) nazywamy standardowym rozkładem normalnym X~N(m, δ)
⟹
~(0,1)
19.
WARTOŚĆ OCZEKIWANA (NADZIEJA MATEMATYCZNA, WARTOŚĆ ŚREDNIA, WARTOŚĆ PRZECIĘTNA)
Warościa oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy wielkość oznaczoną symbolem EX i określoną następująco:
1. Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym o wartościach w zbiorze k={x
1
, x
2
, …} i szereg
∑ |
|
P(x=x
k
)
jest zbieżny to
X =
∑
∗(=
)
2. Jeśli x ma rozkład ciągły gęstościa f
x
i całka
∫
||()
jest zbiezna to
X=
∫
()
20.
MOMENT RZĘDU
Momentem rzędu k zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną EX
k
i oznaczamy m
K
.
21.
MOMENT CENTRALNY
Momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X nazywamy E((X-EX)
K
) oznaczamy μ
K
 22.
MOMENT CENTRALNY RZĘDU 2
Mamentem centralnym rzędu drugiego nazywamy wariancję zmiennej losowej X i oznaczamy D
2
X
23.
ODCHYLENIE STANDARDOWE
Pierwiastek z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym i oznaczamy DX
24.
NIEZALEŻNE ZMIENNE LOSOWE
Mówimy, że zmienne losowe X, Y są niezależne jeśli
∀
aєR, bєR zachodzi P(X
≤
a, Y
≤
)=P(X
≤
) P(Y
≤
)
25.
NIERÓWNOŚĆ CZYBYSZEWA
Jeśli X jest zmienną losową o wartości oczekiwanej m i wariacji δ
2
to P(|X-m|>
)
≤
26.
WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA
a) P(
∅
)=0
b) Jeśli zbiór A
1
, A
2
, …, A
n
єΣ takich, że A
i
∩
A
j
=
∅
dla i
≠
j to P(
⋃
)=
∑
(
)
c) Jeśli A, BєΣ, A
⊂
B to P(B\A) = P(B)-P(A)
d) Jeśli AєΣ to P(A’)=1-P(A)
e) Jeśli A, BєΣ, to P(A
∪
B)=P(A)+P(B)-P(A
∩
B)
f) Jeśli zbiór A
1
, A
2
, … A
n
єΣ, to P(
⋃
)
≤
∑
(
)
g) Jeśli A, BєΣ, A
⊂
B to P(A)
≤
P(B)
h) P(A)
≤
1 dla AєΣ
−
∑
∩
+⋯+
(
−1
)
(
∩…∩
)
dla dowolnych A
1
, …, A
n
єΣ
є
)=
lim
→
(
)
.
Jeśli (A
n
)
nєN
jest zstępującą rodziną zdarzeń to P(
⋂
є
)=
lim
→
(
)
.
)=
∑
(
)
27.
WZÓR WŁĄCZ-WYŁĄCZ
P(
⋃
28.
TWIERDZENIE O CIĄGŁOŚCI MIARY PROBABILISTYCZNEJ
Jeśli (A
n
)
nєN
jest wstępującą rodziną zdarzeń to P(
⋃
[ Pobierz całość w formacie PDF ]