Temat08 rozwiazania

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ROZWIĄZANIA ĆWICZEŃ
DOWODZENIE II
Przykłady dowodów:
Przykład 1
1.
(A ∧ D) ∧ B
Zał.
Przykład 2
1.
A ∧ (B ≡ C)
Zał.
2.
C ≡ (A ∧ D)
Zał.
2.
A → C
Zał.
3.
A ∧ D
∧Elim 1
3. B ≡ ~D
Zał.
4. C
≡Elim 2, 3
4. A
∧Elim 1
5.
B ≡ C
∧Elim 1
6. C
→Elim 2, 4
7. B
≡Elim 5, 6
8. ~D
≡Elim 3, 7
Przykład 3
1.
A → C
Zał.
2.
A
Zał.
3. D ∨ A ∨Wpr 2
4.
(A → C) ∨ B ∨Wpr 1
5.
[(A → C) ∨ B] ∧ (D ∨ A) ∧Wpr 4, 3
Przykład 4.
1.
(C ∧ D) ≡ (~A ∨ B)
Zał.
2. B
Zał.
3. ~A ∨ B
∨Wpr 2
4.
C ∧ D
≡Elim 1, 3
5. C
∧Elim 4
Przykład 5
1.
A ∨ B
Zał.
Przykład 6.
1.
~A ∨ ~B
Zał.
2. C → ~B
Zał.
2. B ∧ ~~B
Zał.
3. C
Zał.
3. ~~B
∧Elim 2
4. ~B
→Elim 2, 3
4. ~A
MTP 1, 3
5. A
MTP 1, 4
Przykład 7
1.
(S ∨ O) → B
Zał.
2. B → (P ∨ W)
Zał.
3.
O ∧ ~W
Zał.
4. O
∧Elim 3
5.
S ∨ O
∨Wpr 4
6. B
→Elim 1, 5
7.
P ∨ W
→Elim 2, 6
8. ~W
∧Elim 3
9. P
MTP 7, 8
© Katarzyna Paprzycka
R8-1
Samouczek logiki zdań. Rozwiązania ćwiczeń
(wersja wstępna)
Wszelkie prawa zastrzeżone
Uwagi proszę kierować na adres:
Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl
1. Jeżeli dostanę 17 lub 18 punktów na teście, to otrzymam ocenę bdb.
Zał.
2.
Parafraza:
Jeżeli otrzymałem ocenę bdb, to [znaczy, że] albo przyswoiłem sobie
regułę wprowadzania implikacji albo wkułem wszystkie możliwe dowody.
Zał.
3.
Dostałem 18 punktów, a przecież nie wkułem wszystkich możliwych dowodów.
Zał.
4. Dostałem 18 punktów na teście.
∧Elim 3
5. Dostałem 17 lub 18 punktów na teście.
∨Wpr 4
6. Otrzymałem ocenę bdb.
→Elim 1, 5
7. Albo przyswoiłem sobie regułę wprowadzania implikacji, albo wkułem wszystkie
możliwe dowody na pamięć.
→Elim 2, 6
8. Niewkułem wszystkich możliwych dowodów.
∧Elim 3
9. Przyswoiłem sobie regułę wprowadzania implikacji.
MTP 7, 8
≡
Elim.I.
Uzupełnij brakujące informacje:
1.
C ≡ D
Zał.
1.
C ≡ D
Zał.
2. C
Zał.
2. D
Zał.
3. D
≡Elim 1, 2
3. C
≡Elim 1, 2
1.
B ≡ ~D
Zał.
1.
(C ∨
A) ≡ B
Zał.
2. ~D
Zał.
2.
C ∨ A
Zał.
3. B
≡Elim 1, 2
3. B
≡Elim 1, 2
1.
A ≡ (D ∧ B)
Zał.
1.
M ≡ ~~N
Zał.
2.
D ∧ B
Zał.
2. ~~N
Zał.
3. A
≡Elim 1, 2
3. M
≡Elim 1, 2
1.
~A ≡ ~B
Zał.
1.
A ∧ B
Zał
2. ~A
Zał.
2.
~C ≡ (A ∧ B)
Zał.
3. ~B
≡Elim 1, 2
3. ~C
≡Elim 1, 2
1.
(A → B) ≡ (C ≡ D)
Zał
1.
A ≡ B
Zał
2.
C ≡ D
Zał.
2. A
Zał.
3.
A → B
≡Elim 1, 2
3. B
≡Elim 1, 2
1. A
Zał.
1.
~A ≡ ~C
Zał
2.
(~D ≡ A) ∧ C
Zał.
2.
~A ≡ D
Zał.
3. ~D ≡ A
Zał.
3. ~C
Zał.
4. ~D
≡Elim 1,3
4. ~A
≡Elim 1, 3
1. C
Zał
1.
~D ≡ ~C
Zał
2. A
Zał.
2.
A ≡ C
Zał.
3. [A ≡ (A ≡ B)] ≡ C
Zał.
3. ~C
Zał.
4. A ≡ (A ≡ B)
≡Elim 1, 3
4. ~D
≡Elim 1, 3
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 8. Dowodzenie II
R8-2
1.
~(D ∧ A)
Zał.
1.
A ≡ B
Zał
2.
(~D ∧ A) ≡ C
Zał.
2.
B ≡ C
Zał.
3.
~(D ∧ A) ≡ ~C
Zał.
3. B
Zał.
4. ~C
≡Elim 1,3
4. A
≡Elim 1, 3
1. (A ≡ B) ≡ C
Zał
1. ~A ≡ ~C
Zał
2.
~(B ≡ C)
Zał.
2.
A ≡ (D → (A ≡ C))
Zał.
3.
A ≡ B
Zał.
3.
D → (A ≡ C)
Zał.
4. C
≡Elim 1, 3
4. A
≡Elim 2,3
≡
Elim.II.
W następujących dowodach brakuje dokładnie jednego kroku, aby dowieść wniosku
znajdującego się w ostatnim wierszu. Uzupełnij brakujący krok, uzasadnij go, oraz uzasadnij
krok ostatni
:
1.
(A ≡ B) ∧ C
Zał.
1.
C ≡ B
Zał.
2. B
Zał.
2.
B ∧ ~A
Zał.
3. A ≡ B
∧Elim 1
3. B
∧Elim 2
4. A
≡Elim 2,3
4. C
≡Elim 1,3
1.
B ≡ C
Zał.
1.
C → B
Zał.
2.
A → B
Zał.
2.
~A ≡ B
Zał.
3. A
Zał.
3. C
Zał.
4. B
→Elim 2,3
4. B
→Elim 1,3
5. C
≡Elim 1,4
5. ~A
≡Elim 2,4
1.
A ≡ B
Zał.
1.
A ≡ B
Zał.
2.
B ≡ C
Zał.
2.
B ≡ C
Zał.
3. A
Zał.
3. C
Zał.
4. B
≡Elim 1,3
4. B
≡Elim 2,3
5. C
≡Elim 2,4
5. A
≡Elim 1,4
≡
Elim.III.
W następujących dowodach brakuje dokładnie dwóch kroków, aby dowieść wniosku
znajdującego się w ostatnim wierszu. Uzupełnij brakujące kroki, uzasadnij je, oraz uzasadnij
krok ostatni:
1.
(A ≡ B) ∧ C
Zał.
1.
(A ≡ B) ∧ C
Zał.
2. C ∧ A
Zał.
2. B ∧ D
Zał.
3. A ≡ B
∧Elim 1
3. A ≡ B
∧Elim 1
4. A
∧Elim 2
4. B
∧Elim 2
5. B
≡Elim 3,4
5. A
≡Elim 3,4
1. B ≡ C
Zał.
1. B ≡ C
Zał.
2.
C ≡ D
Zał.
2.
A ≡ B
Zał.
3. A ∧ B
Zał.
3. D ∧ C
Zał.
4. B
∧Elim 3
4. C
∧Elim 3
5. C
≡Elim 1,4
5. B
≡Elim 1,4
6. D
≡Elim 2,5
6. A
≡Elim 2,5
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 8. Dowodzenie II
R8-3
1.
B ≡ C
Zał.
1.
(A ≡ B) ≡ (~C ∧ A)
Zał.
2.
(A → C) ∧ C
Zał.
2. ~C
Zał.
3.
A ≡ B
Zał.
3. A
Zał.
4.
~C ∧ A
4. C
∧Elim 2
∧Wpr 2,3
5. B
≡Elim 1,4
5.
A ≡ B
≡Elim 1,4
6. A
≡Elim 3,5
6. B
≡Elim 3,5
≡
Elim.IV.
Skonstruuj następujące dowody:
Dowieść, że: C
1. A ≡ (B ≡ C)
Zał.
Dowieść, że: A
1. (A ≡ B) ≡ (B ≡ C)
Zał.
2.
A ≡ B
Zał.
2.
B ≡ C
Zał.
3. A
Zał.
3. C
Zał.
4. B
≡Elim 2,3
4. B
≡Elim 2,3
5. B ≡ C
≡Elim 1,3
5. A ≡ B
≡Elim 1,2
6. C
≡Elim 4,5
6. A
≡Elim 4,5
Dowieść, że: C
1.
B ≡ (B ≡ C)
Zał.
Dowieść, że: B ∧ D
1. A ≡ B
Zał.
2.
A → (B ∧ D)
Zał.
2.
C ≡ D
Zał.
3. A
Zał.
3. A ∧ C
Zał.
4.
B ∧ D
→Elim 2,3
4. A
∧Elim 3
5. B
∧Elim 4
5. B
≡Elim 1,4
6.
B ≡ C
≡Elim 1,5
6. C
∧Elim 3
7. C
≡Elim 5,6
7. D
≡Elim 2,6
8. B ∧ D
∧Wpr 5,7
Dowieść, że: A ∧ C
1.
A ≡ B
Zał.
Dowieść, że: H
1.
(~A ∧ C) ≡ (B ∨ C)
Zał.
2. C ≡ D
Zał.
2.
H ≡ (B ∨ C)
Zał.
3.
B ∧ D
Zał.
3.
(~A ∧ D) ∧ C
Zał.
4. B
∧Elim 3
4.
~A ∧ D
∧Elim 3
5. A
≡Elim 1,4
5. C
∧Elim 3
6. D
∧Elim 3
6. ~A
∧Elim 4
7. C
≡Elim 2,6
7. ~A ∧ C
∧Wpr 6,5
8.
A ∧ C
∧Wpr 5,7
8.
B ∨ C
≡Elim 1, 7
9. H
≡Elim 2,8
Ćwiczenia na zastosowanie reguły
∨
Wpr
∨
Wpr.I.a.
Zastosuj regułę
∨
Wpr dodając zdanie B:
1. A
Zał.
1. A
Zał.
2.
A → C
Zał.
2.
A → C
Zał.
3.
A ∨ B
∨Wpr 1
3.
(A → C) ∨ B
∨Wpr 2
4.
B ∨ A
∨Wpr 1
4.
B ∨ (A → C)
∨Wpr 2
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 8. Dowodzenie II
R8-4
1. ~B
Zał.
1. ~B
Zał.
2.
B → B
Zał.
2.
B → B
Zał.
3.
(B →B) ∨ B
∨Wpr 2
3.
~B ∨ B
∨Wpr 1
4.
B ∨ (B →B)
∨Wpr 2
4.
B ∨ ~B
∨Wpr 1
1. B
Zał.
1. ~A
Zał.
2.
A ∨ C
Zał.
2.
A ≡ C
Zał.
3. B ∨ B
∨Wpr 1
3. ~A ∨ B
∨Wpr 1
4.
B ∨ (A ∨ C)
∨Wpr 2
4.
B ∨ ~A
∨Wpr 1
5. (A ∨ C) ∨ B
∨Wpr 2
5. B ∨ (A ≡ C)
∨Wpr 2
6.
(A ≡ C) ∨ B
∨Wpr 2
∨
Wpr.I.b.
Zastosuj regułę
∨
Wpr dodając zdanie ~B:
1. A
Zał.
1. A Zał.
2.
A → C
Zał.
3.
(A → C) ∨ ~B
∨Wpr 2
4. ~B ∨ (A → C) ∨Wpr 2
2.
A → C
Zał.
3.
A ∨ ~B
∨Wpr 1
4. ~B ∨ A
∨Wpr 1
1. ~A
Zał.
1. B
Zał.
2.
A ≡ C
Zał.
2.
A ∨ C
Zał.
3.
~A ∨ ~B
∨Wpr 1
3.
B ∨ ~B
∨Wpr 1
4.
~B ∨ ~A
∨Wpr 1
4.
~B ∨ B
∨Wpr 1
1. ~B
Zał.
1. ~B Zał.
2.
B → B
Zał.
3.
(B →B) ∨ ~B
∨Wpr 2
4.
~B ∨ (B →B) ∨Wpr 2
2.
B → B
Zał.
3. ~B ∨ ~B
∨Wpr 1
∨
Wpr.I.c.
Zastosuj regułę
∨
Wpr dodając zdanie
~B ≡ A
:
1. A Zał.
2.
A → C
Zał.
3.
A ∨ (~B ≡ A)
∨Wpr 1
4.
(~B ≡ A) ∨ A ∨Wpr 1
1. ~A Zał.
2.
A ≡ C
Zał.
3.
~A ∨ (~B ≡ A)
∨Wpr 1
4.
(~B ≡ A) ∨ ~A ∨Wpr 1
1. A Zał.
2.
A → C
Zał.
3.
(A → C) ∨ (~B ≡ A)
∨Wpr 2
4.
(~B ≡ A) ∨ (A → C) ∨Wpr 2
1. ~B Zał.
2.
B → B
Zał.
3.
(B →B) ∨ (~B ≡ A)
∨Wpr 2
4.
(~B ≡ A) ∨ (B →B) ∨Wpr 2
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 8. Dowodzenie II
R8-5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]