Temat09

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
9. DOWODZENIE III: REGUŁA
→
WPR, R
9.1. Cele i wprowadzenie
Umiejętność stosowania reguł pierwotnych →Wpr oraz R
Umiejętność przeprowadzania prostych dowodów z użyciem tych reguł
9.2. Intuicje
Wiele reguł w systemie SD korzysta z tzw. subderywacji („poddowodów”). Subderywacje intuicyjnie
odpowiadają dowodom pomocniczym, które wykonujemy niejako »na boku« po to, aby uzyskać
pewien wynik w głównym toku dowodzenia.
Rozważmy następujący przykład rozumowania.
(1)
Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to będzie się uganiał za Asią.
(2)
Jeżeli Kuba będzie się uganiał za Asią, to ani nie przyswoi sobie reguły wprowadzania
implikacji, ani nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.
(3)
Jeżeli Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, to
obleje egzamin z tego przedmiotu.
(4)
Jeżeli Kuba obleje egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, to Asia
przestanie się nim interesować.
Jeżeli więc Kuba pojedzie do Zakopanego, to Asia przestanie się nim interesować.
Chcąc dowieść, że wniosek istotnie wynika z przesłanek możemy rozumować tak:
Załóżmy, że Kuba pojedzie do Zakopanego.
Z (1) wynika, że Kuba będzie się uganiał za Asią.
Z (2) wynika dalej, że ani nie przyswoi sobie reguły wprowadzania implikacji, ani nie
przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.
Stąd z kolei wynika, że Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów
Zachowania.
A skoro tak, to na mocy (3), wiemy, że Kuba obleje też egzamin z Biologicznych
Mechanizmów Zachowania.
Stąd oraz z przesłanki (4) wynika, że Asia przestanie się nim interesować.
Zastanówmy się, czego dowiedliśmy. Czy dowiedliśmy, że Asia przestanie się interesować Kubą? Tak
może się nam wydawać, bo ostatni krok w naszym rozumowaniu tak właśnie brzmiał. Trzeba jednak
zwrócić uwagę na to, że nasze rozumowanie oparte było na pewnym założeniu dodatkowym, a
mianowicie na założeniu, że Kuba pojedzie do Zakopanego. Całość naszego rozumowania od tego
założenia zależała. Nie dowiedliśmy, że z przesłanek (1)-(4) wynika zdanie:
Asia przestanie się interesować Kubą.
a jedynie, że wynika z nich zdanie:
Jeżeli
Kuba pojedzie do Zakopanego,
to
Asia przestanie się nim interesować.
Zdanie „Asia przestanie się interesować Kubą” jest wnioskiem w dowodzie pomocniczym, którego
dodatkowym założeniem jest zdanie „Kuba pojedzie do Zakopanego”. W systemie SD wprowadza się
© Katarzyna Paprzycka
9-1
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna)
Wszelkie prawa zastrzeżone
Uwagi proszę kierować na adres:
Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl
graficzną formę przedstawiania takich dowodów pomocniczych, czyli subderywacji, po to, aby ułatwić
nam zorientowanie się w tym, czego dowodzimy na podstawie jakich przesłanek. Stosując szatę
graficzną systemu SD, ale jeszcze nie zastępując zdań powyższego rozumowania stałymi zdaniowymi,
nasze rozumowanie przybiera następującą formę:
1. Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to będzie się uganiał za Asią.
Zał.
2. Jeżeli Kuba będzie się uganiał za Asią, to ani nie przyswoi sobie reguły
wprowadzania implikacji, ani nie przygotuje się do testu z Biologicznych
Mechanizmów Zachowania.
Zał.
3. Jeżeli Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania,
to obleje egzamin z tego przedmiotu.
Zał.
4. Jeżeli Kuba obleje egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, to Asia
przestanie się nim interesować.
Zał.
5. Kuba pojedzie do Zakopanego
Zał.
6. Kuba będzie się uganiał za Asią
(1), (5)
7. Kuba ani nie przyswoi sobie reguły wprowadzania implikacji, ani nie
przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.
(6), (2)
8. Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.
(7)
9. Kuba obleje egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania
(8), (3)
10. Asia przestanie się interesować Kubą.
(9), (4)
11. Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to Asia przestanie się nim interesować
(5)–(10)
Na subderywację składają się wiersze 5–10. Wszystkie zdania występujące w subderywacji są
oddzielone od głównej linii dowodowej i wpisywane przy linii dowodowej tej subderywacji. Całą
subderywacją „rządzi” założenie dodatkowe, tj. że Kuba pojedzie do Zakopanego. Wszystkie kroki w
subderywacji są oparte na tym właśnie założeniu. Przecież nie wiemy, że Kuba obleje egzamin z
Biologicznych Mechanizmów Zachowania na podstawie założeń (1)–(4); wiemy, że Kuba obleje
egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania,
o ile
pojedzie do Zakopanego. Subderywacje
służą temu, abyśmy rozumieli w kontekście jakich założeń, co z czego wynika.
Spróbuj przełożyć nasze rozumowanie na formę symboliczną:
1. Z → A Zał.
2.
A → (~P ∧ ~R)
Zał.
3. ~R → ~B
Zał.
Z: Kuba pojedzie do
Z
akopanego.
A: Kuba będzie się uganiał za
A
sią.
P: Kuba
P
rzyswoi sobie regułę wprowadzania implikacji.
R: Kuba p
R
zygotuje się do testu z Biol. Mech. Zach.
B: Kuba zda egzamin z
B
iol. Mech. Zach.
I: Asia będzie się
I
n
teresować Kubą.
4.
~B → ~I
Zał.
5.
Zał.
6.
7.
8.
9.
10.
11
Z → ~I → Wpr 5–10
Reguła →Wpr jest oparta na powyższych intuicjach, zanim ją przedstawimy, wprowadzimy trochę
terminologii, która będzie pomocna w omawianiu reguł korzystających z subderywacji, oraz
wprowadzimy regułę R, która rządzi przepływem informacji w dowodach z subderywacjami.
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III
9-2
9.3. Subderywacje
Derywacje mogą zawierać subderywacje. Każda subderywacja:
•
ma swą własną linię derywacyjną
•
ma dokładnie
jedno
założenie zwane założeniem dodatkowym (podkreślone linią
założeniową)
•
może zawierać dowolną ilość kroków.
Oto przykład dowodu zawierającego subderywację (proszę się na razie nie starać zrozumieć dowodu,
lecz tylko przyjrzeć się oznaczeniom):
1.
A → (B ∧ C)]
Zał.
2. ~C Zał.
3.
(A → B) → D
Zał.
4.
A
Zał.
5. B ∧ C →Elim 1,4
6. B
założenie dodatkowe
linia
subder
wniosek subderywacji
subderyw
główna linia
dowodowa
∧Elim 5
subderywacja
(poddowód)
7.
A → B
→Wpr 4-6
8. D
→Elim 3,7
linia
subderywacji
zdanie wyprowadzone przy pomocy
reguły, pozwalającej na zamknięcie
subderywacji
9.4. Reguła
→
Wpr (Reguła wprowadzania implikacji; dowód warunkowy)
Jeżeli w subderywacji
dowodu macierzystego, której założeniem (dodatkowym) jest
p
,
można wyprowadzić
r
, to do dowodu macierzystego wolno dołączyć wiersz, gdzie
(swobodnie) występuje implikacja
p
→
r
.
i
.
p
Zał. (→Wpr)
j
.
r
¾
p
→
r
→ Wpr
i–j
Intuicje
Jeśli z założenia, że
p
, można wyprowadzić
r
, to prawdziwą jest implikacja
p
→
r.
Jedno ze sposobów
odczytania implikacji jest „
r
przy założeniu, że
p
”.
Konstruowanie subderywacji dla Reguły
→
Wpr
Reguła wprowadzania implikacji jest regułą konstrukcyjną. Zawsze, gdy chcemy wprowadzić
implikację musimy najpierw skonstruować subderywację, a reguła →Wpr
ściśle determinuje
, jakie ma
być założenie dodatkowe tej subderywacji (zawsze: poprzednik implikacji, którą chcemy uzyskać w
dowodzie macierzystym), oraz jaki ma być jej wniosek (zawsze: następnik implikacji, którą chcemy
uzyskać w dowodzie macierzystym).
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III
9-3
Ćwiczenia na stosowanie reguły
→
Wpr
→
Wpr.I.a.
W każdym z poniższych „szkieletów dowodowych” trzeba zastosować regułę
→
Wpr, aby wyprowadzić pewną implikację. Aby to zrobić trzeba skonstruować subderywację
(została już skonstruowana). Określ jaką implikację można wyprowadzić w wierszu 9. (W
ćwiczeniu tym nie chodzi o skonstruowanie całego dowodu; nie próbuj uzasadniać wniosku
subderywacji! Numeracja wierszy jest również tylko umowna.)
Zał.
Zał.
3 B
Zał. (→Wpr)
3 ~B
Zał. (→Wpr)
8 A
8 A
9
B → A
→ Wpr 3–8
9
~B → A
→ Wpr 3–8
Zał.
Zał.
3 C
Zał. (→Wpr)
3
A ≡ C
Zał. (→Wpr)
8 ~B
8 B
9
C → ~B
→ Wpr 3–8
9
(A ≡ C) → B
→ Wpr 3–8
Zał.
Zał.
3 C
Zał. (→Wpr)
3
C → A
Zał. (→Wpr)
8
B → A
9
C → (B → A)
→ Wpr 3–8
8 B
9
(C → A) → B
→ Wpr 3–8
Zał.
Zał.
3
~(A → B)
Zał. (→Wpr)
3 ~A
Zał. (→Wpr)
8 C
8 B → C
9
~A → (B → C)
→ Wpr 3–8
9
~(A → B) → C
→Wpr 3-8
Zał.
Zał.
3
A ∨ ~A
Zał. (→Wpr)
3
B → C
Zał. (→Wpr)
8 B
8
C → D
9
(B → C) → (C → D)
→ Wpr 3–8
9
(A ∨ ~A) → B
→ Wpr 3–8
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III
9-4
→
Wpr.I.b.
W każdym z poniższych „szkieletów dowodowych” trzeba zastosować
→
Wpr, aby
wyprowadzić pewną implikację. Aby to zrobić trzeba skonstruować subderywację (została już
skonstruowana). Wpisz założenie dodatkowe subderywacji oraz wniosek, jaki trzeba będzie
wyprowadzić w tej subderywacji, aby można było zastosować regułę
→
Wpr w kroku 9. (W
ćwiczeniu tym nie chodzi o skonstruowanie całego dowodu, nie próbuj zatem uzasadniać
wniosku subderywacji! Numeracja wierszy jest tylko umowna.)
Zał.
Zał.
3
A
Zał. (→Wpr)
3
~A
Zał. (→Wpr)
8
B
8
B
9 A → B
→ Wpr 3–8
9 ~A → B
→ Wpr 3–8
Zał.
Zał.
3
A
Zał. (→Wpr)
3
A ∨ C
Zał. (→Wpr)
8
~B
8
B
9 A → ~B
→ Wpr 3–8
9 (A ∨ C) → B
→ Wpr 3–8
Zał.
Zał.
3
A
Zał. (→Wpr)
3
A → B
Zał. (→Wpr)
8
B → C
9
A → (B → C) → Wpr 3–8
8
C
9
(A → B) → C → Wpr 3–8
Zał.
Zał.
3
A ≡ ~B
Zał. (→Wpr)
3
~(A → B)
Zał. (→Wpr)
8
~B ≡ A
9
(A ≡ ~B) → (~B ≡ A) → Wpr 3–8
8
~A → B
9
~(A → B) → (~A → B) → Wpr 3–8
9.5. Przykłady prostych dowodów z zastosowaniem reguły
→
Wpr
Przykład 1.
Proszę dowieść, że A → C w oparciu o przesłankę A → (B ∧ C). Rozumowanie takie jest niewątpliwie
prawidłowe. Odpowiada mu wnioskowanie np. „Jeżeli Ania pójdzie na imprezę, to pozna Beatę i
swego przyszłego męża Czesia. Zatem, jeżeli Ania pójdzie na imprezę, to pozna swego przyszłego
męża Czesia.”
1.
A → (B ∧ C)
Zał.
Dowieść: A → C
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III
9-5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]