Temat22

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
22. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI
Logika relacji jest pewnym poszerzeniem logiki predykatów. Również w logice relacji musimy
opanować pewne podstawowe „chwyty”, które pozwolą nam dokonywać symbolizacji. Pierwszym z
tych „chwytów” jest zrozumienie wagi kolejności zapisywanych kwantyfikatorów. Drugim „chwytem”
jest umiejętność dokonywania symbolizacji zdań kategorycznych w logice relacji. Trzecim wreszcie –
zrozumienie zachowania negacji. Pierwsza umiejętność jest swoista dla logiki relacji, dwie pozostałe
stanowią poszerzenie tego, co już opanowaliście.
22.1. Logika relacji jako poszerzona logika predykatów
Z pewnością pamiętacie przykład intuicyjnie prawidłowego rozumowania, które w logice zdań
okazywało się nieprawidłowe: Wszyscy ludzie są śmiertelni; Sokrates jest człowiekiem; zatem
Sokrates jest śmiertelny. Wiemy już teraz, że logika zdań – choć jest teorią logiczną z wielu względów
imponującą – to jest teorią po prostu zbyt »zgrubną«, aby móc ująć takie rozumowania jako
rozumowania prawidłowe. Radzi sobie z nimi logika predykatów, gdyż pozwala zrozumieć logiczny
sens funktora ‘wszyscy’. Istnieją jednakże intuicyjnie prawidłowe rozumowania, które wymuszają
poszerzenie również logiki predykatów. Oto jeden z przykładów:
(A
1
) Wszystkie wielkie koty lubią wszystkie antylopy.
Wszystkie lwy są wielkimi kotami.
Wszystkie antylopy gnu są antylopami.
Zatem: Wszystkie lwy lubią antylopy gnu.
Pozostawiam Wam dokonanie symbolizacji i przekonanie się, że istotnie nie będzie to wnioskowanie
logicznie prawidłowe w logice predykatów. Wiąże się to ponownie z tym, że logika predykatów nie
rozpoznaje w szczególności złożonej struktury przesłanki pierwszej oraz wniosku. Aby tę strukturę
oddać wprowadzić aparaturę pozwalającą na oddanie nie tylko własności indywiduów, lecz również
związków między indywiduami. Tego dokonuje logika relacji.
22.1.1. Zdania indywiduowe
Rozważmy następujące trzy zdania:
(1) Cezary kocha Annę.
(2) Cezary kocha Danutę.
(3) Bogdan kocha Danutę.
Z punktu widzenia logiki predykatów zdania (1) różni się od zdań (2)–(3) tym, że w zdaniu pierwszym
występuje funkcja zdaniowa ‘
x
kocha Annę’, a zdania (2)–(3) mają wspólną funkcję zdaniową ‘
x
kocha
Danutę’. Logika predykatów pozwala nam bowiem „uzmiennić” tylko jedną nazwę z zdaniu. Logika
relacji odrzuca to ograniczenie, dopuszczając funkcje zdaniowe o wielu zmiennych. W ten sposób
zdania (1)–(3) możemy zinterpretować jako zdania oparte o tę samą relacyjną funkcję zdaniową:
Cezary kocha Annę.
Cezary
Anna
__
kocha __
Relacyjne funkcje zdaniowe mają zawsze więcej niż dwie luki. Aby odróżnić te różne luki od siebie
oznacza się je tzw. zmiennymi indywiduowymi (oznaczanymi
x, y, z,
ewentualnie tymi zmiennymi z
dodanymi indeksami), np.:
© Katarzyna Paprzycka
22-1
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna)
Wszelkie prawa zastrzeżone
Uwagi proszę kierować na adres:
Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl
x
kocha
y
x
leży pomiędzy
y
i
z
x
1
jest zazdrosny o
y
1
bardziej niż
x
2
jest zazdrosny o
y
2
Luki można też oznaczać na inne sposoby i przyjmiemy konwencję, że będziemy je oznaczać za
pomocą symboli
c
,
d
,
e
itd. W ten sposób unikniemy częstych nieporozumień, które powstają, gdy
mieszają się zmienne wolne w legendzie ze zmiennymi związanymi kwantyfikatorami. Zdania
utworzone po zastąpieniu zmiennych nazwami w relacyjnych funkcjach zdaniowych są prostymi
zdaniami zdającymi sprawę z zachodzenia pewnych relacji pomiędzy indywiduami.
Skonstruujmy teraz legendę symbolizacji.
Dziedzina: ludzie
a
: Anna
b
: Bogdan
c
: Cezary
d
: Danuta
K
cd
:
c
kocha
d
Możemy teraz zapisać zdanie (1) w języku logiki kwantyfikatorów zastępując zmienne odpowiednimi
nazwami indywiduowymi:
[1]
Kca
Zwróćmy od razu uwagę, że w wypadku relacji bardzo ważna jest kolejność zarówno nazw, jak i
indywiduowych występujących po stałej relacyjnej, w naszym wypadku po ‘
K
’. Kolejność ta
odpowiada kolejności podmiotu i orzeczenia w zdaniu (1), np. Zdanie:
[4]
Kac
reprezentuje zdanie:
(4) Anna kocha Cezarego.
Zdania (2) i (3) oddamy odpowiednio jako:
[2]
Kcd
[3]
Kbd
Ćwiczenie 22.I.
Dokonaj symbolizacji następujących zasłyszanych opinii o niektórych politykach polskich w
oparciu o podaną legendę:
Dziedzina: ludzie
a: Alicja
b: Beata
c: Czesław
d: Danuta
W
cd
:
c
jest wyższy niż
d
N
cd
:
c
jest niższy niż
d
(a) Alicja jest niższa niż Beata.
(b) Beata jest niższa niż Czesław.
(c) Danuta jest wyższa niż Czesław.
(d) Czesław jest niższy niż Danuta.
(e) Beata jest niższa niż Czesław, ale Danuta nie jest niższa niż Czesław.
(f) Alicja, Beata i Czesław są niżsi niż Danuta.
(g)
Jeżeli Alicja jest niższa niż Beata, a Beata – niż Danuta, to Alicja jest
niższa niż Danuta.
(h)
Albo Czesław jest niższy niż Danuta, albo Danuta jest niższa niż
Czesław.
(i) Czesław nie jest ani wyższy niż Danuta, ani niższy niż Beata.
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 22.
Podstawy symbolizacji w logice relacji
22-2
22.1.2. Zdania skwantyfikowane: kolejność kwantyfikatorów
Rozważmy kolejno następujące zdania:
(1) Ktoś kocha Danutę.
[1] (
∃
x
)
Kxd
(2) Bogdan kocha kogoś.
[2] (
∃
x
)
Kbx
y
)
Kxy
Aby dokonać symbolizacji dwóch pierwszych zdań wystarczy jeden kwantyfikator, aby dokonać
symbolizacji ostatniego trzeba użyć dwóch kwantyfikatorów. Ponieważ kolejność kwantyfikatorów
zwykle jest istotna warto przyjrzeć się wszystkim możliwym kombinacjom kwantyfikatorów.
[3] (
∃
x
)(
∃
(i)
(
∃
x
)(
∃
y
)
Kxy
Ktoś kocha kogoś.
(ii)
(
∃
y
)(
∃
x
)
Kxy
Ktoś jest przez kogoś kochany.
(iii)
(
∀
x
)(
∀
y
)
Kxy
Wszyscy kochają wszystkich.
(iv)
(
∀
y
)(
∀
x
)
Kxy
Wszyscy są kochani przez wszystkich.
(v)
(
∀
x
)(
∃
y
)
Kxy
Wszyscy kogoś kochają.
(vi)
(
∃
y
)(
∀
x
)
Kxy
Ktoś jest kochany przez wszystkich.
(vii)
(
∃
x
)(
∀
y
)
Kxy
Ktoś kocha wszystkich.
(viii)
(
∀
y
)(
∃
x
)
Kxy
Wszyscy są kochani przez kogoś.
Pary zdań (i)–(ii) oraz (iii)–(iv) są sobie równoważne. Natomiast pozostałe zdania nie są równoważne i
warto poświęcić im chwilę uwagi.
(v)
(
∀
x
)(
∃
y
)
Kxy
Wszyscy kogoś kochają.
(vi)
(
∃
y
)(
∀
x
)
Kxy
Ktoś jest kochany przez wszystkich.
Zdanie (v) jest prawie na pewno prawdziwe. Jeżeli przyjmiemy, że każdy kocha przynajmniej swoich
rodziców lub opiekunów, to będzie prawdziwe. Warto jednak zwrócić uwagę, że w tym wypadku
wszyscy mogą kochać kogoś zupełnie innego. Zdanie (vi) natomiast prawie na pewno prawdziwe nie
jest – byłoby ono prawdziwe, gdyby istniała osoba, która jest kochana przez wszystkich – super-idol w
rodzaju Marilyn Monroe, np. Zwróćmy też uwagę, że jeżeli istnieje ktoś, kto jest kochany przez
wszystkich (vi), to prawdziwe musi być zdanie (v), tj. wszyscy kogoś kochają. Nie zachodzi jednak
odwrotna relacja wynikania.
(vii)
(
∃
x
)(
∀
y
)
Kxy
Ktoś kocha wszystkich.
(viii) (
∀
y
)(
∃
x
)
Kxy
Wszyscy są kochani przez kogoś.
Podobnie mają się rzeczy w przypadku pary twierdzeń (vii)–(viii). Ze zdania (viii) nie wynika zdanie
(vii). Jeżeli przyjmiemy, że wszyscy są kochani przynajmniej przez rodziców lub opiekunów, to zdanie
(viii) jest prawdziwe. Nie znaczy to jednak, że ktoś kocha wszystkich (taką osobą byłby Bóg np.).
Ponownie jednak ze zdania (vii) wynika zdanie (viii) – jeżeli prawdą jest to, że ktoś kocha wszystkich,
to prawdą jest także, że wszyscy są przez kogoś kochani.
Warto jeszcze wspomnieć o możliwości związania obu miejsc w funkcji zdaniowej tym samym
kwantyfikatorem.
(ix)
(
∃
x
)
Kxx
Ktoś kocha siebie samego.
(
x
)
(
∀
x
)
Kxx
Wszyscy kochają siebie samych.
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 22.
Podstawy symbolizacji w logice relacji
22-3
(3) Ktoś kocha kogoś.
Ćwiczenie 22.I.
Niech dziedzina będzie skończona: {Ala, Beata, Cela, Danuta}. Relację „
c
kocha
d
”
oznaczymy: ‘
c
d
’. Proszę uzupełnić diagramy następujących zdań.
Ala
Beata
Ala
Beata
Cela
Danuta
Cela
Danuta
(v) Wszyscy kogoś kochają
(vi) Ktoś jest kochany przez wszystkich
Ala
Beata
Ala
Beata
Cela
Danuta
Cela
Danuta
(viii) Wszyscy są kochani przez kogoś
(vii) Ktoś kocha wszystkich
Ala
Beata
Ala
Beata
Cela
Danuta
Cela
Danuta
(i) Ktoś kocha kogoś
(ii) Ktoś jest przez kogoś kochany.
Ala
Beata
Ala
Beata
Cela
Danuta
Cela
Danuta
(iii) Wszyscy kochają wszystkich.
(iv) Wszyscy są kochani przez wszystkich
Ćwiczenie 22.II.
Dokonaj symbolizacji następujących zdań w oparciu o podaną legendę:
Dziedzina: politycy
a: Andrzej Lepper
j: Jerzy Urban
m: Jan Maria Rokita
M
cd
:
c
jest mądrzejszy niż
d
P
cd
:
c
jest popularniejszy niż
d
Z
cd
:
c
zwodzi
d
(a) Jan Maria Rokita jest popularniejszy niż Jerzy Urban.
(b) Jan Maria Rokita jest najpopularniejszym politykiem.
(c) Wszyscysą bardziej popularni niż Andrzej Lepper.
(d) Ktoś jest bardziej popularny niż wszyscy.
(e) Ktoś jest mądrzejszy od kogoś.
(f) Wszyscysą od kogoś mądrzejsi.
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 22.
Podstawy symbolizacji w logice relacji
22-4
(g) Ktoś jest mądrzejszy niż wszyscy.
(h) Ktoś kogoś zwodzi.
(i) Ktoś jest przez kogoś zwodzony.
(j) Wszyscysą przez kogoś zwodzeni.
(k) Ktoś jest zwodzony przez wszystkich.
(l) Wszyscykogoś zwodzą.
(m) Ktoś zwodzi wszystkich.
22.1.3. Zmienne nie są nazwami
Częstym błędem popełnianym przez uczących się logiki relacji jest
implicite
przyjmowane
przekonanie, że zmienne coś nazywają.
De facto
zmienne nic nie nazywają. Jedynym powodem, dla
którego w wyrażeniu:
y
)
Kxy
rozróżniamy zmienną ‘
x
’ od zmiennej ‘
y
’ jest to, żeby wiedzieć przez który kwantyfikator są one
wiązane. Ale jakiej litery użyjemy na oznaczenie tych zmiennych zupełnie nie ma znaczenia, pod
warunkiem, że te same luki funkcji zdaniowej są wiązane tymi samymi kwantyfikatorami
występującymi w tej samej kolejności. Zdanie (1) moglibyśmy zapisać w następujący sposób:
∀
x
)(
∃
∀
∃
K
__ __
ważne jest tylko to, aby odpowiednie kwantyfikatory występujące na odpowiednim miejscu wiązały te
same luki w funkcji zdaniowej. Nie stosujemy zapisu ze strzałkami, gdyż jest mało ekonomiczny i w
wypadku złożonych zdań byłby mało czytelny. Zastępujemy go zapisem ze zmiennymi – nie wolno
jednak przywiązywać się do nazw zmiennych. Wszystkie następujące zapisy są zapisami tego samego
zdania, które występuje w (1):
(
∀
z
)(
∃
y
)
Kzy
(
∀
z
)(
∃
x
)
Kzx
(
∀
y
)(
∃
x
)
Kyx
(
∀
y
)(
∃
z
)
Kyz
. . . . . . . . . . .
Ćwiczenie 22.III.
Uzupełnij alternatywne zapisy następujących zdań:
(a)
(b)
(c)
(
∃
x
)(
∀
y
)
Kxy
(
∀
y
)(
∀
x
)
Kxy
(
∃
y
)(
∀
x
)
Kxy
∃
∀
K
__ __
∀
∀
K
__ __
∃
∀
K
__ __
(
∃
y
)(
∀
x
)
Kyx
(
∀
x
)(
∀
y
)
Kyx
(
∃
x
)(
∀
y
)
Kyx
(
∃
z
)(
∀
x
)
Kzx
(
∀
z
)(
∀
x
)
Kxz
(
∃
z
)(
∀
x
)
Kxz
(
∃
x
)(
∀
z
)
Kxz
(
∀
x
)(
∀
z
)
Kzx
(
∃
x
)(
∀
z
)
Kzx
(
∃
z
)(
∀
y
)
Kzy
(
∀
z
)(
∀
y
)
Kyz
(
∃
y
)(
∀
z
)
Kzy
z
)
Kzy
y
)
Kyz
(
∃
y
)(
∀
z
)
Kyz
(
∀
y
)(
∀
(
∃
z
)(
∀
Katarzyna Paprzycka,
Samouczek logiki zdań
(wersja wstępna): Temat 22.
Podstawy symbolizacji w logice relacji
22-5
(1) (
[ Pobierz całość w formacie PDF ]