Temat 6

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
6. SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJU NIEKOŁOWYM
6.1. Płaskownik o wymiarach
b
x
h
x
L
(
L
jest długością) poddany jest działaniu
momentu skręcającego
M
s
. Zakładając, ze
b
<<
h
oraz stosując metodę analogii
błonowej Prandtla obliczyć w sposób przybliŜony (funkcja Prandtla jest funkcja
tylko jednej zmiennej) moment skręcający odpowiadający nośności spręŜystej
M
oraz odpowiedni całkowity kąt skręcenia
Φ
. Dla wybranych wartości
stosunku
h
/
b
porównać otrzymane rozwiązania z rozwiązaniami ścisłymi. Do
obliczeń szczegółowych przyjąć następujące dane liczbowe:
Τ
o
[MPa],
200
G
=8
x
10
4
[MPa],
L
=1[m],
b
=0.01[m],
h
=0.1[m].
6.2. Pręt o przekroju skrzynkowym (Rys.6.2) i długości L poddany jest działaniu
momentu skręcającego
M
s
. Zakładając, Ŝe grubość ścianek przekroju pręta jest
mała w stosunku do pozostałych wymiarów oraz stosując metodę analogii
błonowej Prandtla obliczyć w sposób przybliŜony moment skręcający
odpowiadający nośności spręŜystej
s
M
oraz odpowiedni całkowity kąt skręcenia
Φ
. Wyniki porównać z rezultatami otrzymanymi przy zastosowaniu analogii
hydrodynamicznej. Jak zmieni się rozwiązanie, gdy jeden z boków pręta
zostanie rozcięty (Rys.6.2). Do obliczeń szczegółowych przyjąć następujące
dane liczbowe:
Τ
o
[MPa],
G
=8
x
10
4
[MPa],
L
=1[m], B=0.05[m], H=0.1[m],
b
=0.04[m],
h
=0.08[m].
Wskazówki:
a) Równanie napiętej błony
w
=
w
(
x
,
y
) dla analogii Prandtla wyprowadzić
zakładając zerowanie się pochodnej obliczanej po zmiennej wzdłuŜ ścianki
przekroju.
b) Stałe całkowania odpowiednich
równań wyznaczyć z warunku
zerowania się funkcji
w
=
w
(
x
,
y
) na
konturze
B
x
H
oraz z warunku
równowagi sił dla sztywnej i
niewaŜkiej płytki o wymiarach
b
x
h
,
która jest spojona z błona na
konturze wewnętrznym przekroju. Na
płytkę działają siły pochodzące od
ciśnienia oraz naciągu błony siłą
T
. Rys.6.2
=
200
6.3. Pręt przedstawiony na rys.6.3 skręcany jest momentem
M
s
. Wyznaczyć napręŜenie styczne
Τ
w punkcie K
przekroju. Wyznaczyć równieŜ sztywność skręcania
przekroju. Dane:
G
,
M
s
, a.
Wskazówka:
Zastosować metodę róŜnic skończonych dla siatki
węzłów jak na rys.6.3. Wykorzystać warunek symetrii.
Rys.6.3
M
pręta o
przekroju pierścieniowym oraz kąt skręcenia
Φ
. Jak zmieni się odpowiednie
rozwiązanie, gdy pręt zostanie rozcięty wzdłuŜ tworzącej. Do obliczeń
s
=
6.4. Stosując analogię błonową Prandtla obliczyć nośność spręŜystą
s
szczegółowych przyjąć następujące dane:
100
Τ
o
[MPa],
G
=8
x
10
4
[MPa],
=
L
=1[m],
R
z
=0.12[m],
R
w
=0.1[m].
Wskazówki:
a) Równanie napiętej błony dla analogii Prandtla wyprowadzić we
współrzędnych biegunowych, dla których operator Laplace’a ma postać
1
∂
∂
w
1
∂
2
w
∇
2
w
=
Ρ
+
.
Ρ
∂
∂
Ρ
2
∂
2
b) Przyjąć, Ŝe błona napięta jest na konturze kołowym o promieniu
R
z
, gdzie
w
(
R
z
, θ)=0, natomiast od wewnątrz na promieniu
R
w
jest przypięta do
sztywnego i niewaŜkiego krąŜka, dla którego musi być spełnione równanie
równowagi pomiędzy siłami
T
pochodzącymi od napięcia błony i siłą
pochodzącą od działania ciśnienia
p
na krąŜek.
Τ
, jednostkowy kąt skręcenia
Θ
i
funkcję spaczenia przekroju
u
=
u
(
y
,
z
) dla skręcanego, idealnie spręŜystego pręta
o przekroju eliptycznym i półosiach
a
oraz
b
.
6.6. Dla pręta o przekroju eliptycznym i półosiach
a
oraz
b
wyznaczyć rozkład
napręŜeń stycznych wzdłuŜ osi symetrii przekroju.
6.7. Dla przekroju eliptycznego o półosiach
a
i
b
=2
a
wyznaczyć napręŜenia styczne
na obwodzie zewnętrznym w funkcji współrzędnej
x
.
MAX
Τ
, jednostkowy kąt skręcenia
Θ
i
funkcję spaczenia przekroju
u
=
u
(
y
,
z
) dla skręcanego, idealnie spręŜystego pręta
o przekroju trójkąta równobocznego o boku
a
.
6.9. Porównać wartości maksymalnego napręŜenia stycznego w przekroju
skręcanym o kształcie wydłuŜonej elipsy i w przekroju prostokątnym opisanym
na tej elipsie, przy załoŜeniu b>>a.
6.10. Zbadać zaleŜność momentu skręcającego
M
s
od stosunku półosi elipsy
Κ
a
/
dla idealnie spręŜystego pręta o przekroju eliptycznym przy załoŜeniu,
Ŝe powierzchnia przekroju pręta jest stała i wynosi A oraz przy jednym z
następujących załoŜeń:
a) stałego, zadanego największego napręŜenia stycznego
MA
Τ
,
b) stałego, zadanego jednostkowego kąta skręcenia
Θ
.
6.11. Pręt o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego wykonany z materiału o
module Kirchhoffa
G
, skręcono wywołując jednostkowy kąt skręcenia
Θ
. Jaką
rozciągającą siłą normalną
P
moŜna dodatkowo ten pręt obciąŜyć jeŜeli
napręŜenie dopuszczalne wynosi
k
r
. Zastosować hipotezę TG. Wyznaczyć
zaleŜność pomiędzy
Θ
i
P
. Do obliczeń szczegółowych przyjąć następujące
dane:
a
=0.04[m],
Θ
=0.03[1/m],
G
=8
x
10
4
[MPa],
k
r
=120[MPa].
6.12. Pręt o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego o powierzchni
A
,
wykonany z materiału o module Kirchhoffa
G
, poddany jest skręcaniu. Czy
moŜna dobrać taki stosunek półosi elipsy
Κ
=
a
/
by skręcany pręt, którego
przekrój jest elipsą o tej samej powierzchni A wykonany z tego samego
materiału miał:
a) takie samo największe napręŜenie styczne
MA
Τ
przy tym samym momencie
M
s
,
b
=
6.5. Określić największe napręŜenie styczne
6.8. Określić największe napręŜenie styczne
MAX
b
b) albo ten sam kąt skręcenia
Θ
przy tym samym momencie skręcającym
M
s
,
c) albo takie samo największe napręŜenie styczne
MAX
Τ
przy tym samym kącie
Δ
, przy
czym Znaleźć całkowity kąt skręcenia rury. Wyznaczyć równieŜ wielkość
momentu
M
0
przenoszoną przez ścianki zewnętrzne i wielkość momentu
M
p
przenoszoną przez przegrody. Zastosować analogię hydrodynamiczną. Dane:
M
s
,
k
s
,
a
,
L
,
G
.
Rys.6.13
skręcenia
Θ
.
6.13. Rura „trzyobwodowa” o długości
L
i wymiarach przekroju podanych na rys.6.13
podlega skręcaniu swobodnemu, przy czym wartość momentu skręcającego
wynosi
M
s
. Wyznaczyć grubość ścianki
z
Δ
i grubość ścianki przegrody
p
[ Pobierz całość w formacie PDF ]