Teoria sterowania 1 ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podstawowe pojęcia, jakimi posługujemy się w ramach teorii sterowania to pojęcia układu
dynamicznego, przez który rozumie się dowolny proces fizyczny, ekonomiczny, socjologiczny,
biologiczny itd., rozpatrywany z punktu widzenia
zachowania się w czasie.
W ramach teorii sterowania rozważa się możliwość oddziaływania celowego na ten układ
(sterowania) za pomocą określonych wielkości. Procesy określające dany układ dynamiczny jako
odpowiadający problemom technicznym.
Z punktu widzenia teorii sterowania nie ma znaczenia natura fizyczna poszczególnych wielkości
charakteryzujących dany proces. Natomiast istotna jest
informacja
, której nośnikiem jest przebieg w
czasie tych wielkości.
Pojęcie sygnałów, za które przyjmuje się różne wielkości fizyczne.
Typy sygnałów:
1. Zbiór sygnałów wejściowych v
1
(t), v
2
(t),…, v
p
(t)
- zbiór sygnałów sterujących u
1
(t), u
2
(t),…, u
r
(t)
Są to te wielkości fizyczne, za pomocą których w sposób celowy działamy na układ, aby
otrzymać pożądany efekt.
- zbiór sygnałów zakłócających z
1
(t), z
2
(t),…, z
m
(t)
Efekt oddziaływania środowiska zewnętrznego, mają charakter przypadkowy.
Przeciwdziałają w uzyskaniu efektu sterowania.
2. Zbiór sygnałów wyjściowych y
1
(t), y
2
(t),…, y
q
(t)
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
vt
vt
1
()
()
Wektor sygnałów wejściowych
v
t
=
⎢ ⎥
⎢
⎢
⎣ ⎦
2
vt
p
()
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
1
()
()
Wektor sygnałów sterujących
u
t
()
=
⎢ ⎥
⎢
⎣ ⎦
2
ut
r
()
u
t R
y
t R
∈
∈
r
q
Jakiekolwiek rozważanie dotyczące układów dynamicznych wymagają sformułowania modelu
matematycznego.
Przez
model matematyczny
rozumie się reprezentację danego układu określoną przez zbiór równań
i założeń matematycznych wiążących poszczególne wielkości (sygnałów) istotne dla celów, jakim
ma służyć model.
Model matematyczny zawsze stanowi uproszczenie w stosunku do rzeczywistości, stanowiąc
pewną abstrakcję matematyczną.
Spośród układów matematycznych można wydzielić bardzo obszerną klasę
układów ciągłych
z
parametrami skupionymi.
Układy ciągłe z parametrami skupionymi można określić poprzez model matematyczny – związki
między sygnałem wej. i wyj. określonymi za pomocą równań różniczkowych zwyczajnych. Do tej
klasy układów nalezą procesy fizyczne najczęściej spotykane w praktyce.
W układach dynamicznych z jednym sygnałem wyjściowym (p=1 i q=1) mówimy, że są to układy
jednowymiarowe. Gdy dotyczy to układów o parametrach skupionych równanie różniczkowe ma
postać:
()
n
( ),
( 1)
−
( ),..., ( ), ( ),
'
( )
( ),
( 1)
m
−
( ),..., '( ), ( ),
⎤
=
0
()
ut
ut
()
()
⎡
n
m
Fy t y t yt ytv tv t vtvtt
⎣
⎦
dyt
i
()
yt
i
()
=
i = 1, 2,…,n
dt
i
dvt
j
()
vt
j
()
=
j = 1, 2,…,m
dt
j
Warunek realizowalności fizycznej układu:
mn
≤
v
1
(t)
y
1
(t)
v
2
(t)
y
2
(t)
v
p
(t)
y
q
(t)
v
t
()
y
t
()
sygnały wielowymiarowe
Żeby opisać układ wielowymiarowy musimy mieć q równań różniczkowych, które opisują związek
sygnałów wyjściowych i wejściowych.
Równania różniczkowe opisujące układ dynamiczny oraz układ równań w przypadku
wielowymiarowego znajduje się w oparciu o podstawowe prawa fizyki:
1) prawa obwodu elektrycznego (Kirchoffa, Ohma),
2) prawa mechaniki (Newtona, D’Alemberta),
3) równania bilansu (masy, ciepła, pędu),
4) prawa przepływu gazu i cieczy,
itp.
Powyższe prawa pozwalają sformułować model matematyczny złożony z układów elektrycznych,
mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych, cieplnych.
W przypadku układów różnorodnych w sensie ich natury fizycznej możliwe jest zastosowanie
prawa ogólnego, jakim jest zasada Hamiltona – zasada minimalizacji działania, z której wynikają
równania dynamiki Lagrange’a i Hamiltona.
Układy liniowe – funkcja F jest funkcją liniową względem swoich argumentów.
Układy nieliniowe – funkcja F jest chociaż dla jednego argumentu nieliniowa.
Układy liniowe to układy, w stosunku do których można użyć
zasady superpozycji.
…
0 układ n-tego rzędu
Równania dla układu liniowego niestacjonarnego:
n
t
=
∑
n
dyt
i
()
∑
m
dvt
j
()
at
()
=
b t
()
i
dt
i
j
dt
j
i
=
0
j
=
0
∑
n
aty t
() ()
()
i
=
∑
m
b tv t
() ()
( )
j
i
j
i
=
0
=
0
parametry są funkcjami czasu.
Układ niestacjonarny = parametry zmieniają się w czasie. Czas jest jawnym argumentem funkcji.
()
()
Układ nieliniowy niestacjonarny:
()
Fy t
[ ( ), , ]
j
Układ stacjonarny = parametry nie zmieniają się w czasie.
Układ nieliniowy stacjonarny:
()
⎡
n
( ),
( 1)
−
( ),..., ( ), ( ),
'
( )
( ),
( 1)
−
( ),..., '( ), ( ) 0
⎤ =
Równanie dla układu liniowego stacjonarnego:
∑∑
n
m
ay t
()
i
()
bv t
( )
j
()
i
j
i
=
0
=
0
Założenie stacjonarności i liniowości układu jest zawsze pewna idealizacją rzeczywistego układu.
Jest ona bardzo często dopuszczalna.
Ma to miejsce wtedy, gdy przyjęcie powyższego założenia nie wprowadza istotnych błędów, co
oznacza, że otrzymany prosty model matematyczny liniowego układu stacjonarnego jest względnie
adekwatny do rzeczywistości.
Co musi być spełnione by stosować ten model?
1) W układach elektrycznych i elektronicznych – stałość rezystancji, pojemności i
indukcyjności oraz ich niezależność od prądów i napięć; należy wykluczyć zjawisko
histerezy i nasycenia.
2) W układach mechanicznych – przyjąć idealne właściwości materiałów, z których wykonane
są części układu (twardość i sztywność) oraz sprężyny i inne elastyczne elementy
charakteryzują się idealnie liniowym związkiem między siłą i odkształceniem. Nie
występują luzy, zakleszczenia i histereza mechaniczna. Siła tarcia jest wprost
proporcjonalna do prędkości.
3) W układach pneumatycznych – stałość oporów przepływu gazów i ich niezależność od
ciśnienia, prędkości i natężenia przepływu. Należy przyjąć, że gazy są idealnie
sprężyste.
4) W układach hydraulicznych – stałość oporów przepływu cieczy i ich niezależność od
ciśnienia, prędkości i natężenia przepływu. Należy przyjąć, że ciecze są idealnie
nieściśliwe.
Rozpatrując procesy fizyczne określające układ dynamiczny można w nich wyodrębnić typowe
części, w których następuje:
a) rozpraszanie energii,
b) magazynowanie energii w postaci kinetycznej,
c) magazynowanie energii w postaci potencjalnej.
Elementarne procesy – typowe elementy w układach:
- element proporcjonalny
- element inercyjny
- element oscylacyjny
- element całkujący idealny (integrator) + z inercją
- element różniczkujący + z inercją
- element opóźniający
W wielu przypadkach nie jest możliwe przyjmowanie dla danego układu fizycznego modelu
liniowego w sposób generalny. Często jednak przeprowadza się linearyzację nieliniowego równania
różniczkowego opisującego rozważany obiekt w otoczeniu wybranego punktu pracy tego układu.
Otrzymuje się wtedy model liniowy układu, który obowiązuje wyłącznie w odpowiednio małym
otoczeniu punktu linearyzacji.
Najczęściej punktem linearyzacji jest punkt pracy ustalonej danego układu, kiedy zarówno sygnały
wejściowe jak i wyjściowe mają wartości stałe. Wtedy w przypadku układu jednowymiarowego
(1 sygnał wejściowy i 1 wyjściowy) dla punktu pracy ustalonej otrzymamy zależność:
()
⎡
n
( ),
( 1)
−
( ),..., ( ), ( ),
'
( )
( ),
( 1)
−
( ),..., '( ), ( ) 0
⎤ =
|
układ niestacjonarny, czas nie jest jawnym argumentem
|
Fy t y t yt ytv tv t vtvt
n
m
m
⎣
⎦
j
Fy t y t yt ytv tv t vtvt
n
m
m
⎣
⎦
W otoczeniu punktu pracy v
0
, y
0
– pochodne tych sygnałów = 0
… …
W punkcie pracy ustalonej!!!
Dokonujemy linearyzacji w otoczeniu v
0
, y
0
rozwijamy w szereg Taylora – funkcja musi być różniczkowalna w otoczeniu v
0
, y
0
przyrosty
[0,0,0, , ,0,0,0, , ] 0
y
0
v
=
0
∆= −
yt yt y
() ()
0
v
0
, y
0
- stałe, pochodne = 0
∆=−
vt vt v
() ()
0
przyrosty
∆ =
yt
()
()
yt
()
i
()
dla i = 1, 2,…,n
pochodnych
∆ =
vt vt
()
()
()
j
()
j = 1, 2,…,m
Postać szeregu Taylora tej funkcji oraz pominięcie funkcji nieliniowej (zawierające potęgi
przyrostu nieliniowości)
∑ ∑
n
m
ay t
∆ = ∆ +
()
i
()
b v t R
( )
j
()
przy założeniu, że reszta nieliniowa jest równa 0
i
j
i
=
0
j
=
0
a
∂
=
∂
F
b
=
∂
−∂
F
i
y
==
=== ==== =
()
i
j
v
==
= == ==== =
()
j
vv y y
yy
,
' ''
vv y y
yy
,
' ''
0
0
0
0
()
( )
… …
y vv
()
n
' ''
v
( )
m
0
… …
y vv
' ''
v
0
W teorii sterowania jednym z podstawowych pojęć jest transmitancja operatorowa, która definiuje
model liniowy układu.
Stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyj. do transformaty Laplace’a sygnały wej. przy
zerowych warunkach początkowych nazywamy transmitancją operatorową.
()
()
=
ys
y sLy t
() { ()}
=
vs Lvt
() {()}
=
vs
()
W układach nieliniowych transmitancji nie używamy!!!
∑ ∑
n
m
ay t
∆ = ∆ +
()
i
()
b v t R
( )
j
()
i
j
i
=
0
j
=
0
transformata Laplace’a
∑
m
bs
j
j
L s
()
Gs
()
=
j
=
0
=
funkcja wymierna zmiennej s.
n
M s
()
∑
as
i
i
i
=
0
=
∑
m
=
∑
s
n
Ls
()
bs
j
M s
()
a
i
j
i
j
=
0
i
=
0
Pierwiastki równania M(s) = 0 (równanie charakterystyczne układu określają bieguny transmitancji.
Pierwiastki równania L(s) = 0 nazywamy zerami transmitancji.
By układ był stabilny bieguny układu muszą być w lewej półpłaszczyźnie zespolonej. Układ, w
którym bieguny i zera są w lewej półpłaszczyźnie zespolonej to układ minimalno – fazowy.
Układ wielowymiarowy:
Macierz transmitancji operatorowych (transmitancja macierzowa) – opis układu wieloma sygnałami
wej. i wyj. gdzie p – ilość wejść, q – ilość wyjść.
⎡
GG
…
…
…
12
G
1
p
⎤
GG
G
G
() [ ()]
=
Gs
=
=
G
()
s
=
⎢
⎢
21
22
2
p
⎥
wymiar q×p
ij
i
1,2,...,
1,2,...,
q
⎥
j
p
⎢
⎥
⎢
GG
G
⎥
⎣
⎦
q
1
q
2
qp
i – wiersze, j - kolumny
F
i
j
n
m
Gs
11
⎢
⎥
s
Elementy G
ij
(s) są to transmitancje skalarne określające związek pomiędzy i-tym sygnałem
wyjściowym, a j-tym sygnałem wejściowym przy założeniu zerowych warunków początkowych, z
przyjęciem, że wszystkie sygnały wejściowe poza j-tym są równe zero.
()
()
= przy założeniu
ys
i
vv
=== = ===
… …
v v
v
0
ij
vs
()
1
2
−
1
j
+
1
p
j
Gs
()
=
L s
ij
()
ij
M s
()
ij
Wektory sygnałów wej. i wyj.
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
vt
vt
()
()
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
vs
vs
1
()
()
wektor sygn. wej.
v
t
()
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
2
Lvt vs
{()} ()
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
2
×1
vs Lvt
( )
=
{ ( )}
i
i
⎣ ⎦
vt
()
⎣ ⎦
vs
p
()
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
yt
yt
1
()
()
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
ys
ys
1
()
()
wektor sygn. wyj.
y
t
()
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
2
Lyt ys
{()} ()
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
2
×1
⎣ ⎦
yt
q
()
⎣ ⎦
ys
q
()
Można napisać równanie w dziedzinie transformat wiążące wektory sygnału wejściowego i
wyjściowego:
() () ()
ys
= ⋅
G
s vs
Równanie macierzy transmitancji. |
bo nie jest definiowalne dzielenie macierzy przez macierz
|
G
12
v
1
(s)
G
11
y
1
(s)
G
21
v
2
(s)
y
2
(s)
v
s
y
s
()
G
q1
G(s)
G
q2
G
22
v
p
(s)
y
q
(s)
G(s)
Wyznaczanie sygnału wyjściowego – zależności:
() () ()
= ⋅
G
s vs
⎡ ⎤ ⎡
ys
1
…
…
…
G G
11
12
G
1
p
⎤ ⎡
vs
1
()
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
ys G G
()
G vs
⎥ ⎢
()
2
=
21
22
2
p
⋅
2
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
ys G G
()
G vs
⎥ ⎢
()
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣
q
q
1
q
2
qp
p
ys G svs G sv s
i
()
=
i
1
() ()
1
+
i
2
() ()
2
+ +
…
dla 1, 2, ,
G sv s
ip
() ()
p
i
=
…
q
=
∑
p
ys
i
()
G sv s
ij
() ()
j
j
=
1
Gs
j
1
p
()
y
s
()
[ Pobierz całość w formacie PDF ]