Teoria1-Elementarny rachunek ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Elementarny rachunek prawdopodobieństwa
I.
Doświadczenia losowe
Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe.
Mówimy, że
doświadczenie jest losowe
, jeżeli:
- można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach,
- wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć.
Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można
otrzymać w rozdaniu pokera itp.
II.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy.
Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą
.
nosi
nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych
, a jej elementy oznacza się literami
i nazywa
zdarzeniami
elementarnymi
.
W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń
jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów:
Przykłady
1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła
lub wyrzucenie reszki
.
Opisując to doświadczenie przyjmujemy:
2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu:
gdzie
to liczba wyrzuconych oczek.
3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde
to
uporządkowana para:
(wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu)
lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce)
lub krócej
4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde
to
uporządkowana para:
(liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie)
lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej).
W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach.
5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych
tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia,
III.
Zdarzenia
Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego
Częściej chodzi o to, czy
należy
do określonego podzbioru przestrzeni
Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek.
Zdarzeniem
nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych
.
Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem.
Np. gdy
A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6},
B - wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 4, B = {1,2,3,4},
C - wypadła szóstka, C = {6}.
Jeżeli wynikiem doświadczenia jest
oraz
to mówimy, że
zaszło zdarzenie A
oraz że
sprzyja zdarzeniu
A.
Podzbiorami są też:
- zbiór pusty przedstawiający
zdarzenie niemożliwe
(np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w
brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier),
- cała przestrzeń
przedstawiająca
zdarzenie pewne
(każde
).
Zdarzenie
nazywamy
zdarzeniem przeciwnym do A
. Jeżeli
, to
i zachodzi zdarzenie
przeciwne do A.
A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A.
Zdarzeniem przeciwnym do
jest
i odwrotnie.
IV.
Działania na zdarzeniach
Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy
zaszło przynajmniej jedno z nich.
nazywamy
koniunkcją zdarzeń
A i B (,,A i B").
O zdarzeniach A i B takich, że
mówimy, że
wykluczają się.
nazywamy
alternatywą zdarzeń
A i B (,,A lub B").
Jeżeli
, to zajście zdarzenia A
pociąga za sobą
B.
Czasami o zdarzeniach
wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast
w terminach rachunku prawdopodobieństwa.
V.
Definicja prawdopodobieństwa
•
Model klasyczny
(klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki
są jednakowo prawdopodobne, to
prawdopodobieństwo zdarzenia A
określamy wzorem:
Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp.
•
Model uogólniony
Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Na przestrzeni zdarzeń elementarnych
określamy
rozkład prawdopodobieństwa
przypisując
każdemu zdarzeniu elementarnemu
liczbę nieujemną
, tak aby spełniony był warunek:
to prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego
Prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia A nazywamy sumę prawdopodobieństw wszystkich
sprzyjających A.
, gdzie sumujemy po wszystkich
VI.
Podstawowe własności prawdopodobieństwa
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero:
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności:
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem:
Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe.
Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą,
A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz.
Wtedy A' - wypadły same reszki.
4. Dla każdego zdarzenia A:
5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to:
6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli
to:
7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B":
Stąd wniosek, że
, a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5.
VII.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić
prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia.
Prawdopodobieństwem warunkowym
zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy
liczbę
Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń
zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej
(sprzyjają A i B).
Przykłady
1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły
(zdarzenie A)?
.
Można było też zastosować wzór:
,
,
,
,
2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu
rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)?
Zastosujmy wzór
Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że
Teraz prościutko stosując wzór
Ze wzoru
mamy wzór na
prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń
:
Korzystając z tego można pójść dalej
itd.
Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew.
VIII.
Prawdopodobieństwo całkowite
Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają,
a ich suma daje nazywamy
zupełnym układem zdarzeń
.
Formalnie oznacza to, że
czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń
Mówimy też, że rodzina taka stanowi
rozbicie przestrzeni
.
Na diagramie wygląda to np. tak
[ Pobierz całość w formacie PDF ]