Teoria błędów pomiarów

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
W s t ę p - W
TEORIA BŁEDÓW POMIARÓW
1. Wiadomości z podstaw metrologii
Pomiarem nazywa się czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości wiel-
kości badanej. Istotą każdego pomiaru jest porównanie wartości mierzonej z wzorcem miary
tej wielkości.
Metoda pomiarowa to zastosowany podczas pomiaru sposób porównania. Istnieje wiele me-
tod pomiarowych różniących się sposobem postępowania i zastosowanymi środkami. Zawsze
jednak do wykonania pomiaru, tj. określenia stosunku wartości mierzonej do wartości przyję-
tej za jednostkę miary niezbędne jest:
- określenie jednostki miary oraz
- posiadanie odpowiedniego narzędzia pomiarowego.
Podstawowy podział metod pomiarowych to podział na:
-
metody bezpośrednie, w których zastosowany miernik: reaguje wprost na wartość
wielkości mierzonej i wynik pomiaru otrzymuje się bezpośrednio z odczytu jego
wskazań, bez wykonywania jakichkolwiek obliczeń. Przykładami pomiarów bezpo-
średnich są pomiary: długości za pomocą linijki, czasu za pomocą stopera, napięcia
za pomocą woltomierza, temperatury za pomocą termometru itp.
-
metody pośrednie, w których występuje konieczność wyliczenia wartości wielkości
mierzonej X na podstawie bezpośrednich pomiarów innych wielkości A,D,C,D
związanych z nią znaną zależnością funkcyjną
f
, tzn. gdy:
X =
f
( A , B , C , D ).
Przykładami pomiarów pośrednich są: wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą
wahadła matematycznego, wyznaczenie rezystancji za pomocą woltomierza i amperomierza,
wyznaczenie lepkości cieczy metodą Stokesa.
Inny podział metod pomiarowych uwzględnia sposób postępowania podczas pomiaru i rodzaj
zastosowanych narzędzi pomiarowych, z czym wiąże się zwykle osiągalna dokładność wyni-
ku. Rozróżniamy tutaj:
1)
Metodę odchyleniową zwaną też bezpośredniego odczytu.
Wartość wielkości mierzonej określa się w niej na podstawie odchylenia wskazówki lub in-
nego wskazania (np. cyfrowego) narzędzia pomiarowego. Podczas pomiaru wzorzec wielko-
ści mierzonej nie występuje bezpośrednio, natomiast przy produkcji narzędzia pomiarowego
cały szereg wartości wzorcowych został wykorzystany do odpowiedniego wykonania po-
działki (wzorcowanie podziałki). Metoda ta jest najprostsza, najłatwiejsza w zastosowaniu,
daje natychmiastowe wyniki, ale przy wykorzystaniu analogowych narzędzi pomiarowych
jest stosunkowo mało dokładna. Dokładność metody znacznie zwiększyła się z chwilą zasto-
sowania bardzo dokładnych przyrządów cyfrowych.
Niedokładność pomiaru wykonywanego tą metodą wynika głównie z istnienia dopuszczalne-
go błędu systematycznego narzędzia pomiarowego określonego jego klasą dokładności. Na
przykład dla elektrycznych mierników wskazówkowych dopuszczalną wartość błędu bez-
względnego określa zależność:
∆
X =
k
X
, (W-1.1)
100
n
gdzie: k - klasa dokładności miernika w procentach zakresu pomiarowego, X
n
- zakres po-
miarowy.
P r z y k ł a d:
Za pomocą woltomierza klasy 0,5 o zakresie U = 150 V zmierzono napięcie otrzymując war-
tość U=98,25 V. Dopuszczalny błąd bezwzględny woltomierza wynosi wg wzoru (8.1.1 –
patrz ćw. 8)
∆
U
=
0,5
150
V
=
0,75
V
100
zatem wynik pomiaru należy zapisać następująco:
U=98,25 + 0,75 V,
zaś błąd względny procentowy pomiaru
δ
=
0,75
V
100%
=
7,6
%
.
98,25
V
2) Metoda różnicowa
Metoda różnicowa jest metodą porównawczą, przy której w układzie pomiarowym występuje
wzorzec wielkości o wartości zbliżonej do wartości mierzonej (np. jednowartościowy wzo-
rzec nienastawialny). W tym przypadku bezpośrednio mierzy się różnicę obu wartości, a wy-
nik pomiaru określa się następująco:
X
=
X
W
+
∆X
,
gdzie: X
W
- wartość wzorcowa, ∆X - zmierzona bezpośrednio różnica, z uwzględnieniem jej
znaku.
Ponieważ wartość wzorcowa jest zwykle określona z błędem pomijalnie małym, błąd pomia-
ru wartości X wynika z niedokładności bezpośredniego pomiaru różnicy ∆X.
3) Metoda przez podstawienie
Metoda pomiarowa przez podstawienie jest metodą porównania bezpośredniego. W układzie
pomiarowym musi znajdować się wzorzec wielkości mierzonej o wartościach nastawianych
w szerokich granicach. Podczas pomiaru wartość mierzoną X zastępuje się wartością wzor-
cową X
W
, dobraną w taki sposób, aby skutki (np. odchylenia wskazówki miernika ) wywo-
ływane przez obie wartości były takie same, z czego wynika zależność:
X = X
W
.
Metoda przez podstawienie jest metodą bardzo dokładną, ponieważ praktycznie eliminuje
błędy wprowadzane przez układ porównania. Po wielokrotnym powtórzeniu pomiaru i obli-
czeniu wartości średniej (zminimalizowaniu błędów przypadkowych) błąd wyniku pomiaru
jest praktycznie równy błędowi dopuszczalnemu dla wzorca.
4) Metody zerowe
Metody pomiarowe zerowe są najdokładniejszymi metodami porównania bezpośredniego.
Porównanie wartości mierzonej z wartością wzorcową (lub z zespołem wartości wzorco-
wych) odbywa się w nich za pomocą układu pomiarowego, w którym przez zmianę parame-
trów elementów składowych doprowadza się do zaniku (do zera) napięcia lub prądu w kon-
trolowanej gałęzi układu. Czynność doprowadzania do zaniku tego napięcia lub prądu nazy-
wa się równoważeniem układu, a wskaźnik służący do zaobserwowania tego stanu (np. gal-
wanometr) nazywa się wskaźnikiem równowagi. Dokładność zerowych metod pomiaru jest
bardzo duża, zależy od dokładności wykonania zastosowanych w układzie wzorców oraz od
czułości wskaźnika równowagi. Zastosowanie bardzo dokładnych wzorców oraz zastosowa-
nie wskaźnika równowagi o wysokiej czułości ogranicza błędy systematyczne metody do
wartości pomijalnych wobec błędów przypadkowych. Podczas pomiarów dokładnych wyko-
nuje się zwykle serię pomiarów i statystyczną obróbkę wyniku pomiaru.
Rozróżnia się zerowe metody mostkowe oraz zerowe metody kompensacyjne
Metody mostkowe stosuje się najczęściej do dokładnych pomiarów takich parametrów jak
rezystancja, pojemność i indukcyjność. W zrównoważonym układzie przez obiekt badany
płynie prąd stały lub przemienny.
Metody kompensacyjne służą zwykle do pomiaru napięcia lub do pośredniego pomiaru in-
nych wielkości przetworzonych uprzednio na napięcie. W metodzie kompensacyjnej niezna-
ną wartość napięcia mierzonego U porównuje się z nastawianą dokładnie znaną wartością
wzorcową U
W
, wytworzoną za pomocą kompensatora. Układ pomiarowy doprowadza się do
równowagi przez zmianę wartości U
W
, a w chwili równowagi zachodzi równość:
U = U
W
.
Szczególnie ważną zaletą metod kompensacyjnych jest to, że w chwili zrównoważenia ukła-
du przez obiekt badany nie płynie prąd, nie ma zatem błędu systematycznego metody, wyni-
kającego ze spadku napięcia na rezystancji wewnętrznej obiektu badanego.
Zauważmy, że trzy ostatnie metody są metodami porównawczymi, które same reprezentują
grupę metod stojącą w opozycji do metod bezpośrednich. Wykonując zadane ćwiczenie labo-
ratoryjne proszę zastanowić się do której z omówionych kategorii należy zastosowana tam
metoda pomiarowa.
2. Elementy teorii błędów pomiarów
2.1. Rodzaje błędów
Każde doświadczenie fizyczne wymaga przeprowadzenia oszacowania błędu, którym jest
obarczony wynik tzn. podania z jaką dokładnością dana wielkość została wyznaczona. Bę-
dzie to obowiązywało nas w laboratorium. W postępowaniu tym można wyróżnić trzy etapy:
1)
wyznaczenie szukanej wielkości fizycznej,
2)
określenie błędu pomiaru,
3)
podanie przypuszczalnych przyczyn błędów.
Ogólnie rozróżniamy:
- błędy grube
wynikłe z nieuwagi i z pomyłek eksperymentatora ( np. przy odczycie lub w
zapisie wyniku). Często są jednorazowe i bardzo duże.
-
błędy systematyczne
wynikłe ze złego (mało dokładnego) ustawienia samego ekspery-
mentu (nie uwzględnienie pewnych poprawek np. siły wyporu powietrza przy dokład-
nym ważeniu), wad urządzeń pomiarowych (przykładem może być waga dźwigniowa z
przesuniętym punktem zawieszenia, czasomierz wskazówkowy ze środkiem skali nie
pokrywającym się z osią wskazówek czy źle wyskalowane przyrządy), ze stanu ze-
wnętrznych warunków pomiaru (np. zbyt wysoka temperatura w pomieszczeniu) jak i z
błędu eksperymentatora (np. znany błąd paralaksy).
Błąd systematyczny charakteryzuje się stałą lub zmieniającą się według określonego
prawa odchyłką wartości wyznaczanej w doświadczeniu w porównaniu z wielkością
rzeczywistą. Przyczyny błędów systematycznych mogą być poznane i usunięte.
- błędy przypadkowe
wynikłe z niedokładności odczytu, fluktuacji warunków pomiaru, z
nieokreślenia samej mierzonej wielkości fizycznej itp. Błędy te odznaczają się tym, że
w serii pomiarów jednego i tego samego stanu danej wielkości fizycznej wykonywanej
w określonych warunkach, wyniki zmieniają się w sposób losowy (przypadkowy). Nie
można ich uniknąć (usunąć), gdyż nie znamy ich przyczyn.
Wniosek:
Nie można wykonać bezbłędnego wyznaczenia wielkości fizycznej tzw. pomiaru
absolutnie dokładnego.
Rozróżniamy następujące rodzaje błędów pomiarowych ze względu na źródła ich powstania:
a)
błędy powodowane przez przyrządy pomiarowe, np. skończona rezystancja we-
wnętrzna woltomierzy, nieliniowość wskazań przyrządów pomiarowych lub niedo-
skonałość ich wzorcowania,
b)
błędy powodowane przez metody pomiarowe,
c)
błędy powodowane przez mierzącego, np. brak doświadczenia, zmęczenie, skłonno-
ści, nawyki,
d)
błędy powodowane przez obliczenia to błędy przy niewłaściwym zaokrągleniu, nie-
właściwe metody wyrównywania błędów,
e)
błędy powodowane przez wpływ otoczenia na mierzącego, na przyrządy i na mie-
rzoną wielkość. Czynnikami wywołującymi te błędy to temperatura ciśnienie, wil-
gotność powietrza, zakłócenia elektromagnetyczne.
W laboratorium zakładamy, że nie występują błędy systematyczne. Rachunek błędów bę-
dzie się sprowadzał do określenia błędów przypadkowych.
Znane są pojęcia :
a) błędu bezwzględnego definiowanego jako różnica wyniku X i wartości rzeczywistej X
R
.
∆
X −
X
X
R
b) błędu względnego definiowanego jako stosunku błędu bezwzględnego do wartości rze-
czywistej .
δ
=
∆X
=
X
−
1
. (W-2.1)
X
X
X
R
R
Niemniej pojęcie wartości rzeczywistej jest tu czysto teoretyczne, gdyż praktycznie nie zna-
my jej. Powyższe pojęcia są więc dla nas bezużyteczne.
W oparciu o statystyczną teorię błędów przypadkowych można jednak oszacować przybliżo-
ne wartości tych błędów, a tym samym dokładność otrzymanych wyników pomiarowych. Te
przybliżone wartości błędów noszą nazwę wskaźników dokładności pomiarów.
=
2.2. Błędy przypadkowe w pomiarach bezpośrednich
2.2.1 Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
Z jednego pomiaru nie możemy wnioskować o jego dokładności. Do tego konieczna jest ich
seria. Otrzymujemy ją przez kilkukrotne, niezależne powtórzenie rozpatrywanego pomiaru.
Wyniki w serii będą różnić się losowo. Oznaczmy je X
1
,X
2
,X
3
, ....... X
N
gdzie N jest ilością
powtórzeń pomiaru w serii i powinna wynosić przynajmniej 10. Wartości rzeczywistej nie
znamy. Ale z serii pomiarów wartością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej jest
średnia arytmetyczna :
1
∑
=
N
X
=
X
(W-2.2)
N
i
i
1
X =
moglibyśmy napisać tylko dla serii nieskończenie długiej pomiarów, ale przecież wykonanie
takiej serii jest praktycznie niemożliwe.
Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości średniej w tzw. krzywą Gaussa -
mówi się o rozkładzie Gaussa (patrz ćwiczenie nr 1). Aby się o tym przekonać należy zakres
pomiarowy podzielić na przedziały o równej szerokości ∆X i obliczyć ile pomiarów z serii
zmieściło się w każdym z nich (rys. 1). Oczywiście zwiększając N możemy pozwolić sobie
na zmniejszenie szerokości poszczególnych schodków rozkładu, ale nadal zachowa on cha-
rakter dyskretny. Obwiednia dzwonowa poprowadzona po środkach schodków jak na rys. 1
jest pewnym wyidealizowaniem - pokazuje jak rozkład normalny wyglądałby gdyby był
funkcją ciągłą (dla ∞
X
R
N
). Taka postać łatwiej poddaje się analizie matematycznej i dlatego
często jest stosowana, ale nigdy nie należy zapominać, że realny rozkład normalny ma struk-
turę ziarnistą.
Ciągły rozkład Gaussa jest następującą funkcją matematyczną :
=
(X
−
X
)
2
1
−
P(X)
=
e
2
σ
2
(W-2.3)
σ
2π
przy czym parametr σ zwany odchyleniem standardowym określa rozmycie rozkładu wokół
wartości średniej.
Kształt krzywej Gaussa, zwanej również krzywą dzwonową, bardzo silnie zależy od
odchylenia standardowego σ. Na rys. 2 pokazano przebiegi krzywej Gaussa dla kilku róż-
nych wartości odchylenia standardowego. Im większe jest odchylenie standardowe, tym bar-
dziej płaska jest krzywa; dla bardzo małych odchyleń standardowych krzywa jest bardzo
stroma i odchylenia od wartości oczekiwanej są bardzo małe. Zauważmy, że na krzywej
Gaussa można wyróżnić obszary o przeciwnie skierowanej krzywiźnie. W okolicy maksi-
mum krzywa jest wypukła, a daleko poza maksimum staje się krzywą wklęsłą. Oczywiście
obszary takie są oddzielone punktami przegięcia. Odpowiadają one punktom σ
X
−
σ
i
X
+
na osi odciętych.
Jest to podstawowe twierdzenie teorii błędów tzw. pierwszy postulat Gaussa. Wynika ono z
faktu równości prawdopodobieństw tak zawyżenia wielkości mierzonej jak i jej zaniżenia.
Tym samym błędy powinny kompensować się. Jednak przy skończonej ilości pomiarów, mo-
że się zdarzyć, że wyni
ki
nie rozłożą się równomiernie wokół wartości rzeczywistej. Tym
samym wartość średnia X jest jedynie blisko położona wielkości rzeczywistej X
R
, a
le nie
równa jej. Zbliżenie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria pomiarowa. Równość
[ Pobierz całość w formacie PDF ]