Teoria i praktyka równań ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Teoria i praktyka rowna´nrozniczkowych
zwyczajnych
Bogdan Przeradzki
Spis tresci
1 Zagadnienie pocz atkowe
21
1.1 Twierdzenie o funkcji uwiklanej
Irwina–Nowaka ....................... 21
1.2 Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno´sci......... 25
1.3 Zaleznosc od warunkow pocz atkowych i parametrow . . . 28
1.4 Analitycznos´crozwiaza´n .................. 33
2 Problem przedluzania rozwi azan 35
2.1 Jak daleko mozna przedluza´crozwiazania? ........ 35
2.2 Oszacowania
apriori
.................... 37
2.3 Twierdzenie o globalnej rozwi azalno´sci .......... 39
3Rownania wyzszych rz edow
43
3.1 Istnienie, jednoznacznosc i przedluzanie
rozwi aza´ndlarowna´nwyzszych rz ed´ow.......... 43
4Rownania liniowe 47
4.1 Ogolne wlasnosci rozniczkowych rowna´nliniowych.... 47
4.2 Rownania liniowe o stalych wspolczynnikach ....... 57
4.3 Rownania liniowe o wspolczynnikachokresowych..... 63
4.4 Rownania liniowe wyzszych rz ed´ow ............ 66
1
5Uklady dynamiczne 69
5.1 R´ownaniaautonomiczne .................. 69
5.2 Uklad zachowawczy z jednym
stopniemswobody ..................... 76
5.3 Abstrakcyjne ukladydynamiczne ............. 80
5.4 Uklady dynamiczne w
R
2
.................. 90
6 Podstawy teorii stabilnosci 103
6.1 Poj ecie stabilnosci rozwi azania...............103
6.2 Stabilnos´crozwiaza´nrowna´nliniowych ..........105
6.3 Metoda bezposrednia Lapunowa ..............111
6.4 Linearyzacja.........................115
7 Zagadnienia brzegowe 119
7.1 Zagadnieniabrzegowe....................119
8 Bifurkacje 131
8.1 Bifurkacjekowymiaru1...................131
8.2 Bifurkacjekowymiaru2...................134
9 Wprowadzenie do chaosu 139
9.1 Uklady chaotyczne z czasem ci aglym ...........139
9.2 Dyskretne ukladychaotyczne ...............144
149
10.1 R´ownaniaozmiennychrozdzielonych ...........149
10.2Zmianazmiennych .....................153
10.3 Rownania liniowe i pokrewne w
R
R
1
............155
10.4 Rownanie zupelne i czynnik calkuj acy...........159
11 Rownania liniowe 165
11.1 R´ownanialiniowe......................165
11.2 Rozwi azywanie rownan liniowych przez rozwini ecie w
szereg pot egowy.......................168
12 Metody dodatkowe 175
12.1 Calkipierwsze........................175
12.2 Badanie stabilnosci rozwi aza´n ...............180
2
10 Rownania w
12.3 Cwiczenia ro˙znorodne....................183
12.4Eksperymentynumeryczne.................186
A Rachunek rozniczkowy w przestrzeniach Banacha
201
BCalka Riemanna funkcji o wartosciach wektorowych 209
C Analitycznosc i holomorficznosc
213
D Rachunek operatorowy
Dunforda–Riesza
219
EStopien topologiczny i punkty stale odwzorowan
241
Co to jest rownanie rozniczkowe? Na tak postawione pytanie nie ma
wlasciwie sensownej odpowiedzi i to z dwoch powodow. Pierwszy z nich
to ogolna trudnosc logiczna zawarta w samym poj eciu rownania (wszel-
kie definicje w rodzaju ,,dwa wyrazenia pol aczone znakiem rownosci”
nalezy od razu zdyskwalifikowac). Drugi z powodow wynika z faktu ist-
nienia ogromnej liczby mozliwych sposobow pojawienia si e pochodnej
wrownaniu i rodzajow tej pochodnej. Dlatego zdefiniujemy od razu
poj ecie rozwi azania rownania rozniczkowego, traktuj ac te trzy slowa
l acznie, a na razie, rezygnuj ac ze scislosci (wierz ac, ze Czytelnik po-
siada intuicj e, czym w ogole jest rownanie), wymienimy ograniczenia,
jakie b edziemy przyjmowa´cponizej. Przez rownanie rozniczkowe ro-
zumie´cwiec b edziemy rownanie, w ktorym niewiadom a jest funkcja,
przy czym w rownaniu wyst api przynajmniej jedna z pochodnych tej
funkcji. Rozwaza´cbedziemy jedynie rownania rozniczkowe zwyczajne,
tzn. argumentem niewiadomej funkcji jest zmienna rzeczywista i tym
samym jej pochodna jest zwyczajna (nie cz astkowa). Niewiadoma funk-
cja najcz esciej przyjmuje wartosci w przestrzeni
3
Wst ep
R
k
,
ale poniewaz wiele
rezultatow dowodzi si edokladnie tak samo dla dowolnej przestrzeni
Banacha, takie te˙zbedzie nasze typowe zalozenie. W rownaniu, poza
pochodnymi roznych rz edow niewiadomej funkcji, moze te˙zwystapic
sama funkcja oraz jej argument. Wszystkie te wielkosci wyst epuj aw
rownaniu w zlozeniu ,,z zewn atrz” z dan a funkcj a wielu zmiennych.
X
n
+1
(
X
n
+1
oznacza sum eprosta
n
+ 1 egzem-
plarzy przestrzeni
X
)
,
a
F
:
V
R
×
→
X.
Wtedy
rozwi azaniem rownania
rozniczkowego
F
(
t, x, x
,...,x
(
n
)
)=0
nazywa´cbedziemy kazd a funkcj e
φ
:(
a, b
)
X
owlasnosciach
(1)
φ
jest
n
-krotnie rozniczkowalna na (
a, b
)
,
(2) (
t, φ
(
t
)
,φ
(
t
)
,...,φ
n
(
t
))
→
∈
V
dla
t
∈
(
a, b
)
,
(
a, b
)
.
Liczb e
n
nazywamy
rz edem
tego
rownania
. Zwykle zwracamy uwag e
tylko na warunek (3), bo w nim ukryte s a dwa poprzednie jako milcz ace
zalozenia. Zatem rownaniami rozniczkowymi nie s a:
x
=
b
a
∈
K
(
t, s
)
x
(
s
)
ds
(jest to tzw. rownanie rozniczkowo-calkowe),
x
=
f
(
t, x
(
t
−
r
))
(jest to tzw. rownanie rozniczkowe z opoznionym argumentem), a takze
x
(
f
(
t
)) =
g
(
t, x
)
i wiele innych.
Potrzeba rozwi azywania rowna´nrozniczkowych (i samo poj ecie po-
chodnej) pojawila si e najpierw w fizyce. Najbardziej typowe rownanie
w fizyce to zaleznos´cmiedzy zmian a danej wielkosci a sam ata wielkosci a,
czyli – precyzyjniej – mi edzy pochodn a pewnej funkcji zaleznej od
czasu a t a funkcj a. Ta zaleznos´cjestwyrazona wlasnie przez rownanie
rozniczkowe zwyczajne. Wyjasnia to uzywane przez nas oznaczenie
zmiennej niezaleznej
t
– tak oznaczany jest w fizyce czas (z ang.
time
).
Nalezy jednak podkreslic, ze nie zawsze w zastosowaniach zmienna nie-
zalezna jest czasem. Pokazemy teraz kilka przykladow zagadnie´npro-
wadz acych do rowna´nrozniczkowych zwyczajnych.
Przyklad 0.1.
Przypuscmy, ze poruszaj ac si ejakims pojazdem (np.
samochodem albo rakiet a) mamy mozliwos´cpomiarupredkosci w kazdej
4
Dokladniej, niech
X
b edzie przestrzeni a Banacha,
V
b edzie pod-
zbiorem otwartym
(3)
F
(
t, φ
(
t
)
,φ
(
t
)
,...,φ
n
(
t
)) = 0 dla
t
v
(
t
), interesuje nas na-
tomiast nasze polozenie w dowolnej chwili. Jesli przez
x
oznaczyc
polozenie na drodze (punkty na drodze utozsamiamy z liczbami rze-
czywistymi), to rownaniem opisuj acym
x
wzaleznosci od
t
jest
→
x
=
v
(
t
)
,
jak wynika po prostu z definicji pr edkosci, a rozwi aza´ctorownanie
mozemy calkuj ac funkcj e
v.
Oczywiscie wartos´crozwiazania
φ
w chwili
t
mozemy okresli´cznajac polozenie w dowolnej chwili pocz atkowej
t
0
,
powiedzmy
x
0
,
v
(
s
)
ds.
Sytuacja taka jest typowa: poza spelnianiem rownania rozniczkowego
na rozwi azanie nakladamy jeszcze dodatkowy warunek. Wynika to
zarowno z argumentacji fizycznej, jak i z samej wlasnosci tych rownan
–jesli rownanie rozniczkowe posiada w ogole jakie´srozwiazanie, to po-
siada ich nieskonczenie wiele, nawet gdy ograniczymy si edorozwiazan
okreslonych na przedzialach maksymalnych.
Przyklad 0.2.
Niech teraz, w sytuacji ruchu pojazdu po drodze jed-
nowymiarowej opisanej w przykladzie 0.1, probujemy przewidzie´cjego
polozenie, znaj ac zaleznos´cpredkosci od miejsca na drodze, w ktorym
pojazd si e znajduje:
v
(
x
)
.
Nieco naci agaj ac rozumowanie, mozemy wy-
obrazi´csobie,ze pojazdem tym jest samochod i poruszamy si enimz
maksymaln apredkosci a, uwzgl edniaj ac znaki drogowe, zakr ety (pr ed-
kos´czmniejszasiewokreslony sposob) i wzniesienia (pod gor e jedziemy
wolniej, a z gory szybciej). Jak poprzednio pr edkosc jest pochodn a
funkcji polozenia, a wi ec naszym rownaniem rozniczkowym jest teraz
x
=
v
(
x
)
.
Jest to jedno z najprostszych rowna´nrozniczkowych (tzw. rownanie
o zmiennych rozdzielonych), a jednak jego dyskusj e pozostawiamy na
pozniej.
5
chwili, a nie wiemy, jak adroge pokonalismy po danym czasie, a wi ec
w jakim punkcie naszej jednowymiarowej drogi jestesmy w danej chwili.
Oznacza to, ze znamy funkcj epredkosci
t
φ
(
t
)=
x
0
+
t
t
0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]