Teoria 2 - Dystrybuanta

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TeoriaII
In»ynieriaBiomedycznaIrok,semestrletni2009/2010
17/18marca2010r.
1Zmiennalosowa
Zmiennalosowatofunkcjaprzypisuj¡caka»demuzdarzeniuelementarnemu
zprzestrzeniliczbƒrzeczywist¡:
X: !< (1)
Zmiennelosowezwykleoznaczamywielkimiliteramizko«caalfabetu,
np.:X,Y,Z.
Pos“uguj¡csiƒzmienn¡losow¡,zamiastm
ó
wi¢,»ejakie–zdarzenieele-
mentarne!zezbioruzachodzizpewnymprawdopodobie«stwemm
ó
wimy,
»ezmiennalosowaXprzyjmujejak¡–warto–¢(zezbioruprzyjƒtychwarto–ci)
zpewnymprawdopodobie«stwem.
Dziƒkitakiemuodwzorowaniudu»o“atwiejjestwykonywa¢pewneop-
eracjematematyczne(dzia“amypoprostunaliczbach,anienazbiorach
bardziejabstrakcyjnychtwor
ó
w,jakimis¡zdarzeniaelementarne).
Zmiennelosowemo»napodzieli¢na:
zmiennelosowedyskretne
gdyzbi
ó
rmo»liwychwarto–cizmiennej
losowejjestsko«czonylubprzeliczalny,np.przyrzuciekostk¡przypisu-
jemywynikowemuzdarzeniuodpowiadaj¡c¡muliczbƒoczek(mo»liwe
warto–cito:1,2,3,4,5,6);
zmiennelosoweci¡g“e
gdyzbi
ó
rmo»liwychwarto–cizmiennejlosowej
jestnieprzeliczalny,np.wybieramylosowojak¡–osobƒiwynikowemu
zdarzeniuprzypisujemywzrostwybranejosoby(mo»liwychwarto–ci
jestteoretycznieniesko«czeniewiele).
1
2Rozk“adprawdopodobie«stwazmiennejlosowej
Rozk“adprawdopodobie«stwatozestawieniewszystkichmo»liwychwarto–ci
zmiennejlosowejwrazzodpowiadaj¡cymiimprawdopodobie«stwami.Praw-
dopodobie«stwoprzyjƒciaprzezzmienn¡losow¡Xwarto–cixoznaczamy
P(X=x),lubkr
ó
cej
P
x
.
Dlaprzyk“aduzrzutemkostk¡rozk“adprawdopodobie«stwamo»emy
przedstawi¢wformietabeli:
x 1 2 3 4 5 6
P
x
1/61/61/61/61/61/6
Rozk“adprawdopodobie«stwamo»naprzedstawi¢tak»ewformiewykresu
(krzywarozk“adu)alboanalitycznie(poda¢wz
ó
r).Dlaprzyk“aduzewzrostem
wykresrozk“aduprawdopodobie«stwamo»ewygl¡da¢tak:
3Dystrybuanta
Znaj¡crozk“adprawdopodobie«stwazmiennejlosowejmo»emyokre–li¢jej
dystrybuantƒ.Dystrybuantatowygodny,jednoznaczyizupe“nyspos
ó
b
opisywaniarozk“aduzmiennejlosowej.Dystrybuantƒdlazmiennychdyskret-
nychmo»nazde
niowa¢wnastƒpuj¡cyspos
ó
b:
F(x) =P(Xx) =
X
i2X
ix
P
i
(2)
2
Dystrybuantadlarozk“aduprawdopodobie«stwazwi¡zanegozrzutem
kostk¡wygl¡danastƒpuj¡co:
Je–limamydoczynieniazezmienn¡losow¡ci¡g“¡,todystrybuantƒmo»emy
wyznaczy¢napodstawiefuncjigƒsto–ciprawdopodobie«stwaf(x),okre–la-
j¡cejrozk“adprawdopodobie«stwa:
x
Z
F(x) =P(Xx) =
f(t)dt (3)
1
Dystrybuantadlaprzyk“aduzewzrostemwygl¡datak:
3
Uwaga!Dystrybuantƒde
niujesiƒte»czasemwnastƒpuj¡cyspos
ó
b:
F(x) =P(X<x) (4)
Maonawtedyniecoinnew“asno–ci,wiƒcnale»yzwraca¢uwagƒnato,w
kt
ó
ryspos
ó
bdanadystrybuantazosta“aokre–lona!
4W“asno–cidystrybuanty
F(x) =P(Xx) F(x) =P(X<x)
niemalej¡ca
F(x) 2h0;1i
x
!+1
F(x) =1
prawostronnieci¡g“a lewostronnieci¡g“a
P(X<x) = lim
x
0
!x
+
F(x
0
)
P(X>x) = 1 F(x) P(Xx) = 1 F(x)
P(X=x) =F(x) lim
x
0
!x
+
F(x
0
) F(x)
P(a<xb) =F(b) F(a) P(ax<b) =F(b) F(a)
4
x
!1
F(x) =0, lim
lim
x
0
!x
F(x
0
) P(Xx) = lim
x
0
!x
F(x
0
)P(X=x) = lim
[ Pobierz całość w formacie PDF ]