Teoria Ergodyczna WPPT IIIr - ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Teoria ergodycznaWPPT IIIr. semestr zimowy 2008/9KOLOKWIUM 110/12/08We wszystkich zadaniach mamy do czynienia z ukladem (X,µ, T), gdzieµjest miar¸aprobabilistyczn¸, aTtransformacj¸ zachowuj¸c¸ miar¸, nie koniecznie odwracaln¸.aaa aeaTA,µAzawsze oznacza transformacj¸ indukowan¸ i miar¸ warunkow¸ unormowan¸eaeaana podzbiorzeA.Literafzawsze oznacza mierzaln¸ funkcj¸ rzeczywist¸ naX.aeaZadanie 2.NiechA⊂Xma miar¸ r´zn¸ od 0 i 1. Udowodnij, ze je´li uklade o˙ a˙s(X,µ, T) jest ergodyczny, to transformacja indukowana (A,TA, µA) r´wnie˙ .ozROZWIAZANIE: Z ergodyczno´ci, drapaczSAnadAjest cal¸ przestrzeni¸X.¸saaZal´zmy, zeB⊂Ajest istotnym podzbioremA, TA-niezmienniczym. Rozwa˙ myo˙˙zdrapacz chmurSBnadB(to te˙ powinno by´ caleX).Rozwa˙ my punktxzA\B.zczNiech 0 =n, n1, n2, . . .oznacza kolejne nieujemne chwile powrot´wxdoA.Gdybyowpadal on doB,to robilby to po raz pierwszy w chwilini(i>0), a wtedy punkt−1y=Tni−1(x) spelnialbyy∈A, y∈BorazTA(y)∈B.Czyliy∈TA(B)\B./ZTA-niezmienniczo´ci zbioruB,zbi´r takichy-´w ma miar¸ zero. Z tego wynika,sooeze r´w nie˙ zbi´r punkt´wx∈A\Bkt´re kiedykolwiek wpadaj¸ doBma miar¸˙ ozoooaezero. Oznacza to, zeA\Bjest (z dokladno´ci¸ do miary) rozl¸czny zSB. Zatem˙s aaSBjest zbiorem niezmienniczym o mierze ´ci´le pomi¸dzy 0 a 1. Sprzeczno´´ zs sescergodyczno´ci¸.s aZadanie 3.Udowodnij, ze je´li miaraµjest ergodyczna i bezatomowa, to dla˙ska˙ degoN∈Nistnieje zbi´rAtaki, ze drapacz chmur nadAma w najni˙ szymzo˙zmiejscu co najmniejNpi¸ter.eROZWIAZANIE: To jest oczywiste np. z Tw. Rochlina (cho´ nie korzystamy z¸cpelnej mocy tego twierdzenia): we´my dowolny zbi´rAdla kt´regoNkolejnychzooprzeciwobraz´w jest rozl¸cznych. Wtedy pierwszeNpi¸ter drapacza chmur nadAoae−nto pelne przeciwobrazyT(A) i maj¸ one t¸ sam¸ miar¸. Dopiero powy˙ ej numeruaeaezN-tego pi¸tra mog¸ si¸ zacz¸´ zmniejsza´.ea eaccZadanie 6.Wyka˙ , ze funkcjafpodniezmiennicza (czyli taka, zef◦T≤f) jestz ˙˙niezmiennicza.ROZWIAZANIE: Najpierw niechfb¸dzie podniezmiennicza i na dodatek calkowalna.¸eWtedyfspelnia prawie wsz¸dzie nier´wno´´eosc(*)f(T (x))≤f(x).Poniewa˙ , z niezmienniczo´ci miaryzsf(T (x))dµ(x) =f(x)d(Tµ)(x)=f(x)dµ(x),zatem zbi´r na kt´rym nier´wno´´ (*) jest ostra ma miar¸ zero.ooosceJe´lifjest niecalkowalna, to rozwa˙ myfM=max{−M, min{f, M}}(f obci¸taszez dolu przez−Mi z g´ry przezM). To jest funkcja ograniczona, wi¸c calkowalna.oePoka˙ emy, ze jest te˙ podniezmiennicza: Je´lifM(T (x)) =−Mto oczywi´cie jestz˙zssto nie wi¸cej ni˙fM(x). Je´lifM(T (x)) =Mto znaczy, zef(T (x))≥M, zatem zezs˙podniezmienniczo´cif,f(x)≥f(T (x))≥Ma co za tym idziefM(x) =Mi mamysfM(T (x)) =fM(x). W pozostalych przypadkach−M< fM(T (x)) =f(T (x))≤f(x). Zatemf(x)>−Mco oznacza, zefM(x) =f(x) lubM. Je´lifM(x) =f(x)˙sto mamyfM(T (x))≤f(x) =fM(x), a je´lifM(x) =Mto korzystamy z faktu, zes˙fM(T (x))≤M=fM(x).Z poprzedniego punktufMjest funkcj¸ niezmiennicz¸. Poniewa˙ tak jest dlaaazka˙ degoM >0 wnioskujemy, ze calafjest niezmiennicza.z˙Zadanie 10.Na zespolonym okr¸gu jednostkowymTz unormowan¸ miar¸ lukow¸eaaa2λrozwa˙ my dwie transformacje:T1(z) =zziT2(z) =zz(z∈T).Czy ukladz(T,λ, T1) jest faktorem ukladu (T,λ, T2), czy na odwr´t, czy w obie strony?oROZWIAZANIE: Rozwa˙ my odwzorowanie faktoruj¸ceφ(z)=z2(wiemy ze za-¸za˙chowuje ono miar¸ Lebesgue’a). Wtedye2φ◦T1(z) =zz2=T2◦φ(z).ZatemT2jest faktoremT1.Zbadanie faktoryzacji odwrotnej jest znacznie trudniejsze i w zasadzie nie oczekiwalem,ze kto´ to zrobi. Funkcja to˙ samo´ciowaf(z) =zma jest dlaT1funkcj¸ wlasn¸ o˙szsaawarto´ci wlasnejz:f(T1(x)) =zf(z). Gdyby istniala faktoryzacjaψprzeprowadzaj¸casaT2naT1, to funkcjag=f◦ψspelnialabyg(T2(x)) =f(ψ◦T2(x)) =f(T1(ψx)) =zf(ψx) =zg(x),czyligbylaby funkcj¸ wlasn¸ dlaT2o watro´ci wlasnejz. Poniewa˙ ka˙ da mierzalnaaasz z2funkcja ograniczona (a taka jestfwi¸c ig)nale˙ y doL,grozwijalaby si¸ w szeregezeFourierag(z)=cnzn,ngdzienprzebiega wszystkie liczby calkowite i jest to rozklad jednoznaczny (funkcjezns¸ wzajemnie ortogonalne). Teraz, z jednej stronya2g(T2(z)) =g(zz)=n2ncnzzn,z drugiej za´sg(T2(z)) =zg(z)=nzcnzn.Z jednoznaczno´ci rozkladu, dla ka˙ degonmieliby´myszs2nzcn=zcn.2n−12nAlbocn= 0, alboz=z, czyliz= 1. Je´liznie jest pierwiastkiem zsjedno´ci stopnia nieparzystego, to druga r´wno´´ nigdy nie zachodzi, zatemg≡0,soscco jest sprzeczne z definicj¸g(g ma wsz¸dzie modul 1). Je´lizspelniaz=aes2nzdla pewnegon,to powy˙ sza metoda nie wyklucza istnienia faktoryzacji. Alezw tym wypadku latwo pokaza´, ze taka faktoryzacja jest mo˙ liwa. Trzeba tylkoc ˙zn2zauwa˙ y´, ze mo˙ emy teraz wzi¸´z=z(wtedyz=z) i zaadoptowa´ pierwsz¸z c ˙zaccancz¸´´ zadania do obrot´w oziz(odwzorowaniem faktoruj¸cym b¸dzie teraz nieescoae2nφ(z)=ztylkoφ(z)=z). [ Pobierz całość w formacie PDF ]