Teoria grup dla studentow

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TeoriaGrup
Wyklad 1, 09-11-2008 (4 godziny)
Przyklad 1. Ustalmy na pocz atek dowolny niepusty zbior X. Odwzorowaniem
wzajemnie jednoznacznym
zbioru X na siebie nazywamy kazde odwzorowanie
f:X ! X ktore jest:
ro znowartosciowe:
8
x;y2X
f(x)=f(y)) x=y;
na:
8
x2X
9
y2X
f(y)=x.
Zbior wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowan zbioru X na siebie
b edziemy oznaczac przez S(X). Zlozenie odwzorowan oznaczamy symbolem ,
przy czym dla odwzorowan f, g oraz argumentu x przez(f g)(x)rozumiemy
f(g(x)). Jak wiemy:
zlozenie dwoch wzajemnie jednoznacznych odwzorowan zbioru X na siebie
jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (zbioru X na siebie):
f;g 2 S(X)) f g 2 S(X);
skladanie odwzorowan (nie tylko wzajemnie jednoznacznych) jest dziala-
niem l acznym:
8
f;g;h2S(X)
(f g)h=f (gh);
odwzorowanie identycznosciowe id
X
jest odwzorowaniem wzajemnie jed-
noznacznym (zbioru X na siebie) oraz:
8
f2S(X)
id
X
f=f id
X
=f;
kazde wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na siebie posiada
odwzorowanie do niego odwrotne, ktore tez jest odwzorowaniem wzajemnie
jednoznacznym (zbioru X na siebie):
8
f2S(X)
9
g2S(X)
f g=gf=id
X
;
jezeli zbior X ma co najmniej trzy elementy, to skladanie odwzorowan
wzajemnie jednoznacznych nie jest dzialaniem przemiennym:
1
9
f;g2S(X)
f g 6=gf.
Przyklad 2. Niech n b edzie ustalon a liczb a naturaln a. Przy oznaczeniach z Przy-
kladu 1, przyjmijmy X=f1;2;:::;ng.
Permutacj a
zbioru X nazywamy kazde
wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na siebie. Zbior wszystkich per-
mutacji zbioru X b edziemy oznaczac przez S
n
. Oczywiscie zbior S
n
posiada
wszystkie wlasnosci zbioru S(X)podane w Przykladzie 1. Jak wiemy, moc zbioru
jS
n
j=n!.
2
nazywamy ka zde przeksztalcenie tej
plaszczyzny na siebie zachowuj ace odleglosci mi edzy punktami. Zbior wszystkich
izometrii plaszczyznyR
2
b edziemy oznaczac przez I(R
2
). Do zbioru I(R
2
)nalez a
translacje, obroty, symetrie osiowe oraz zlozenia tych przeksztalcen. Jak wiemy:
zlozenie dwoch izometrii plaszczyznyR
2
jest izometri a tej plaszczyzny:
f;g 2 I(R
2
)) f g 2 I(R
2
);
skladanie izometrii plaszczyznyR
2
jest oczywiscie dzialaniem l acznym:
8
f;g;h2I(R
2
)
(f g)h=f (gh);
przeksztalcenie identycznosciowe id
R
2
jest izometri a plaszczyznyR
2
oraz:
8
f2I(R
2
)
id
R
2
f=f id
R
2
=f;
kazda izometria plaszczyznyR
2
posiada przeksztalcenie do niej odwrotne,
ktore tez jest izometri a plaszczyznyR
2
:
8
f2I(R
2
)
9
g2I(R
2
)
f g=gf=id
R
2
;
2
nie jest dzialaniem przemiennym. Istot-
nie, wezmy dwie symetrie osiowe S
K
, S
L
plaszczyznyR
2
wzgl edem prostych
K i L, odpowiednio. Jesli K k L, to S
K
S
L
jest translacj a o wektor ~ pro-
stopadly do obu prostych o zwrocie od prostej L do K i dlugosci dwukrotnie
wi ekszej niz wzajemna odleglosc tych prostych. Jest jasne, ze S
L
S
K
jest
translacj a o wektor ~ . Zatem dla K 6=L mamy S
K
S
L
6=S
L
S
K
:
2
Przyklad 3.
Izometri a plaszczyzny
R
skladanie izometrii plaszczyznyR
(S
K
S
L
)(x)
@
@
S
K
(x)
@
@
@
@
@
@
x
@
@
S
L
(x)
@
@
@
K
@
@
(S
L
S
K
)(x)
@
r
L
Przyklad 4. Wsrod podzbiorow zbioru I(R
2
)na szczegoln a uwag e zasluguje zbior
wszystkich tych izometrii plaszczyznyR
2
, w ktorych obrazem ustalonej gury
F R
2
jest ona sama:
I(F)=ff 2 I(R
2
)j f(F)=Fg.
Nazywamy je
izometriami wlasnymi gury
F. Jak wiemy:
identycznosc id
R
2
2 I(F)- przeksztalca gur e F na siebie, jest wi ec izo-
metri a wlasn a gury F;
zlozenie dwoch izometrii wlasnych gury F jest izometri a wlasn a gury F:
8
f;g2I(R
2
)
f;g 2 I(F)) f g 2 I(F);
kazda izometria plaszczyznyR
2
odwrotna do izometrii wlasnej gury F
przeksztalca gur e F na siebie:
f 2 I(F)) f
1
(F)=(f
1
f)(F)=id
R
2
(F)=F
jest wi ec izometri a wlasn a gury F:
8
f2I(R
2
)
f 2 I(F)) f
1
2 I(F).
Przyklad 5. Przy oznaczeniach z Przykladu 4, jesli F=F
n
jest n-k atem fo-
remnym, to zbior I(F
n
)zawiera dokladnie n obrotow wzgl edem srodka ci ezkosci
o calkowite wielokrotnosci k ata
2
n
oraz n symetrii osiowych. Zatem moc zbioru
3
r
r
r
r
jI(F
n
)j=2n. Dla zbioru wszystkich izometrii wlasnych n-k ata foremnego przyj-
mujemy oznaczenie D
n
.
Denicja 6. Niepusty zbior G wraz z okreslonym w nim dwuargumentowym
dzialaniem :GG ! G nazywamy
grup a
, jesli dzialanie spelnia nast epuj ace
aksjomaty:
1. jest l aczne:
8
a;b;c2G
(ab)c=a(bc);
2. ma element neutralny:
9
e2G
8
a2G
ea=ae=a;
3. kazdy element ma element odwrotny:
8
a2G
9
b2G
ab=ba=e.
Jezeli ponadto:
4. dzialanie jest przemienne:
8
a;b2G
ab=ba
to grup e G nazywamy
abelow a
lub
przemienn a
.
Notacja 7. Najcz esciej uzywanymi symbolami dla oznaczenia dzialania w grupach
s a: symbol oraz symbol+, ktore tradycyjnie b edziemy nazywac, odpowiednio,
mnozeniem oraz dodawaniem. Zale znie od oznaczenia dzialania, grup e b edziemy
nazywac multiplikatywn a lub addytywn a.
W grupie multiplikatywnej element neutralny b edziemy oznaczac symbolem e lub
1. Element odwrotny do elementu a b edziemy oznaczac symbolem a
1
. Iloczyn
n jednakowych czynnikow: aa:::a b edziemy oznaczac symbolem a
n
. Wtedy:
a
m
a
n
=a
m+n
oraz(a
m
)
n
=a
mn
.
W grupie addytywnej przyjmujemy analogiczne oznaczenia: element neutralny
b edziemy oznaczac symbolem0, element odwrotny do elementu a b edziemy ozna-
czac symbolem a i b edziemy nazywac elementem przeciwnym, sum e n jedna-
kowych skladnikow: a+a+:::+a b edziemy oznaczac symbolem na. Wtedy:
ma+na=(m+n)a oraz m(na)=(mn)a.
4
Jesli napiszemy: niech G b edzie grup a, to b edziemy mieli na mysli grup e multi-
plikatywn a z dzialaniem oznaczonym kropk a: , ktor a cz esto b edziemy pomijac.
Stwierdzenie 8. Niech G b edzie grup a.
1. W grupie G istnieje dokladnie jeden element neutralny.
2. Dla dowolnego elementu grupy G istnieje dokladnie jeden element do niego
odwrotny.
3. Dla dowolnych elementow a;b;c 2 G jezeli ab=ac lub ba=ca, to b=c.
4. Dla dowolnego elementu a 2 G, elementem odwrotnym do elementu a
1
2
G jest element a, czyli:
(a
1
)
1
=a.
5. Dla dowolnych elementow a;b 2 G elementem odwrotnym do elementu
ab 2 G jest element b
1
a
1
, czyli:
(ab)
1
=b
1
a
1
.
Dowod. Ad.1. Niech e;f 2 G b ed a elementami neutralnymi dzialania w grupie
G. Z aksjomatu 2 Denicji 6 wynika, ze:
e=ef=f,
przy czym pierwsza rownosc wynika z tego, ze f jest elementem neutralnym
dzialania w grupie G, a druga rownosc wynika z tego, ze e jest elementem neu-
tralnym dzialania w grupie G.
Ad.2. Niech b;c 2 G b ed a elementami odwrotnymi do elementu a 2 G. Wtedy:
b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c.
Ad.3.
Mnoz ac rownosc ab=ac z lewej strony przez element a
1
kolejno otrzy-
mujemy:
a
1
(ab)=a
1
(ac)
(a
1
a)b=(a
1
a)c
eb=ec
b=c:
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]