Teoria miary i całki Lebesgue'a

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Teoriamiaryicałki
Spistreści
1Wstęp
3
2Algebrazbiorów
5
3Pierścienie,ciała,
σ
−
ciałazbiorów.
7
3.1Definicjapierścieniaciałai
σ
−
ciała............... 7
3.2Pierścień,ciałoi
σ
ciałogenerowaneprzezrodzinęzbiorów..10
3.3Rodzinymonotonicznezbiorów.................10
−
4Półpierścienie 13
4.1Definicjapółpierścienia......................13
4.2Pierścieńgenerowanyprzezpółpierścień............13
4.3Iloczynkartezjańskipółpierścieni................15
5Funkcjeaddytywneimiary. 17
5.1Pojęciefunkcjiaddytywnej ...................17
5.2Miaryna
σ
ciele.........................18
5.3Zupełnośćmiary.........................21
−
6Funkcjeaddytywneimiarynapółpierścieniach 23
6.1Funkcjeaddytywneimiarynadowolnejrodziniezbiorów...23
6.2Przedłużaniefunkcjiaddytywnychimiarzpółpierścieniana
pierścień..............................24
7Funkcjaaddytywnanailoczyniekartezjańskimpółpierścieni26
7.1MiaraJordanagenerowanaprzezfunkcjęaddytywną.....27
8Miarazewnętrzna 28
8.1Definicjaiwłasnościmiaryzewnętrznej ............28
8.2TwierdzenieCaratheodyr’ego..................28
8.3Ogólnametodakonstrukcjimiaryzewnętrznej.........33
8.4Miarazewnętrznagenerowanaprzezfunkcjęaddytywnąna
półpierścieniu...........................33
1
k
35
9.1Przedziały
k−
wymiarowe,figuryelementarne.........35
9.2Objętośćfigurelementarnych..................38
9.3MiarazewnętrznaLebesque’aw
9MiaraLebesque’aw
R
k
.
..............40
9.4ZbiorymierzalnewsensieLebesque’a..............41
9.5Zbioryborelowskie........................46
9.6MiarawewnętrznaLebesque’a..................47
9.7MiaraJordana..........................48
9.8JedynośćmiaryLebsque’a....................50
R
10Funkcjemierzalne 52
10.1Definicjafunkcjimierzalnych,podstawowewłasności.....52
10.2Ciągifunkcjimierzalnych....................57
10.3Funkcjeproste..........................58
10.4Funkcjemierzalnewzględem
σ
ciałazbiorówmierzalnychw
sensieLebesque’a.........................60
−
11Zbieżnośćprawiewszędzieizbieżnośćwedługmiary 63
12CałkaLebesque’a 65
12.1Całkafunkcjinieujemnych....................65
12.2Funkcjecałkowalne........................68
13CałkaLebesque’aacałkaRiemanna
72
14Iloczynkartezjańskimiar 73
14.1Iloczynkartezjańskipółpierścieni................73
14.2Miaranailoczyniekartezjańskimpółpierścieni.........74
14.3Iloczynkartezjańskiprzestrzenizmiarą............74
15Miaryzespolone
76
2
1Wstęp
k
Problem.
Czyistniejefunkcja
µ
:2
R
→
[0
,∞
]taka,że
(i)
µ
(
∅
)=0
,
(ii)
µ
(
∞
∪
n
=1
A
n
)=
∞
∑
n
=1
µ
(
A
n
)
,
(iii)
µ
(
P
)=
|
P
|
dladowolnegoprzedziału
k
−
wymiarowego
P,
k
idowolnego
x∈
R
k
.
(iv)
µ
(
A
+
x
)=
µ
(
A
)dladowolnegozbioru
A⊂
R
Twierdzenie1.1
Nieistniejefunkcjaµ
:2
R
→
[0
,
∞
]
spełniającawarunki
(i),(ii),(iii),(iv).
k
Dowód.
Załóżmy,żefunkcja
µ
:2
R
]spełniawarunki(i),(ii),(iii).
Zauważmy,żezwarunku(ii)wynika,żedladowolnychzbiorów
A, B
→
[0
,
∞
∈
R
,
jeżeli
A
⊂
B,
to
µ
(
A
)
6
µ
(
B
)
.
[0
,
1]wnastępującysposób.Zdefiniujmyrelację
∼
wzbiorze[0
,
1]wsposóbnastępujący:
x∼y⇔x−y∈
Q
.
Łatwospraw-
dzić,żerelacja
Zdefiniujmyzbiór
V
⊂
jestrelacjąrównoważnościw[0
,
1]
.
Jakwiadomodowolna
relacjawzbiorzerozbijatenzbiórnasumęrodzinypodzbiorówniepustych
iparamirozłącznychmianowicienasumęklasabstrakcjitejrelacji.Niech
V
będziezbioremzawierającympodokładniejednymelemenciekażdejkla-
syabstrakcjirelacji
∼
∼
.
Ustawmydalejwszystkieliczbywymierneodcinka
[
1
,
1]wciąg
q
1
, q
2
, ...
iniech
V
n
=
q
n
+
V.
Wówczaszwarunku(iv)mamy
µ
(
V
n
)=
µ
(
V
)
.
Zauważmy,że
V
n
∩
−
=
m.
Mogązajśćdwa
przypadki.Albo
µ
(
V
)=0albo
µ
(
V
)
>
0
.
Rozpatrzmynajpierwpierwszy
przypadek.Jeżeli
x∈
[0
,
1]
,
tozbiór
V
zawieradokładniejedenelement
v
klasyabstrakcji[
x
]
.
Zdefinicjirelacji
V
m
=
∅
gdy
n
1
,
1]
więcistniejetakie
n,
ze
x−v
=
q
n
,
zatem
x
=
v
+
q
n
,
stądzaśwynika,że
∼
mamy
x
−
v
∈
Q.
Ale
x
−
v
∈
[
−
∞
∪
x
∈
V
n
.
Pokazaliśmywięc,że[0
,
1]
⊂
V
n
,
więc
n
=1
µ
(
∞
∪
n
=1
V
n
)=
∞
∑
n
=1
1=
µ
([0
,
1])
6
µ
(
V
n
)=0
.
Zatemprzypadek
µ
(
V
)=0jestniemożliwy.Stądwynika,żemusibyć
µ
(
V
)
>
0
.
Zauważmy,żedladowolnego
n∈
Nmamy
V
n
⊂
[
−
1
,
2]więc
∞
∪
V
n
⊂
[
−
1
,
2]
.
Stądwynika,że
µ
(
∞
∪
n
=1
V
n
)63aletoprowadzidosprzecz-
n
=1
ności,bo
µ
(
∞
∪
n
=1
V
n
)=
∞
∑
n
=1
µ
(
V
n
)=
∞
∑
n
=1
µ
(
V
)=
∞
.
3
Takwięcniemożliwejestzdefiniowaniemiaryzdefiniowanejnawszyst-
kichpodzbiorachRtakabyspełniałaonanaturalnewarunki(i)-(iv).
Zbiór
V
zdefiniowanywdowodziepowyższegotwierdzenianazywasię
zbioremVitaliego.
4
2Algebrazbiorów
Definicja2.1
Niech
A
będziepodzbioremustalonegozbioru
X.
Wówczas
dla
ε
przez
A
ε
oznaczamyzbiórzdefiniowanynastępująco:
∈{−
1
,
1
}
{
A
jeżeli
ε
=1
A
′
jeżeli
ε
=
−
1
A
ε
=
Lemat2.1
NiechA
1
, ..., A
n
będąpodzbioramizbioruX.Wówczasdlado-
wolnegoi
=1
, ..., nmamy:
A
i
=
∪
ε
i
=1
A
ε
1
1
∩
A
ε
n
n
...
∩
Dowód.
Inkluzja
⊃
jestoczywista.Abyuzasadnićinkluzję
⊂
wystarczy
zauważyć,żejeżeli
x
A
ε
1
1
∩
A
ε
n
n
,
gdzie
ε
j
=
{
1jeżeli
i
=
j
;
0jeżeli
i
∈
A
i
,
to
x
∈
...
∩
=
j
.
Definicja2.2
Mówimy,żerodzinazbiorówparamirozłącznych
S
jestroz-
biciemrodziny
R
jeżeli:
(a)dowolnyzbiórrodziny
S
jestzawartywpewnymzbiorzerodziny
R
;
(b)dladowolnegozbioru
A
∈R
istniejeskończonapodrodzina
S
⊂S
0
taka,że
∪
S
0
=
A.
Zlematu2.1wynika:
Twierdzenie2.1
NiechR
=
{A
1
, ..., x
n
}będziedowolnąskończonąrodzi-
nępodzbiorówzbioruX.Niech
S
będzierodzinąskładającasięzwszystkich
zbiorówpostaci
A
ε
n
n
gdzieε
1
, ..., ε
n
∈{−
1
,
1
}sątakie,żeconajmniejjedenzwskaźnikówε
i
niejestrówny
A
ε
1
1
∩
...
∩
−
1
.Wówczasrodzina
S
jestrozbiciemrodziny
R
.
Zdefinicjigranicygórnejidolnejwynika,że
x
∈
limsup
n→∞
A
n
⇔
x
∈
A
n
dlanieskończeniewielu
n,
oraz
x
∈
liminf
n→∞
A
n
⇔
x
∈
A
n
dlaprawiewszystkich
n.
Zatemmamyzawsze
liminf
n→∞
A
n
⊂
limsup
n→∞
A
n
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]