Teoria ruiny

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2009-05-12
Proces nadwyżki
i teoria ruiny
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Złożony proces Poissona jako
proces wypłaconych odszkodowań
•
Niech - wysokość odszkodowania
wypłaconego w wyniku powstania pojedynczej
szkody z pewnego portfela ryzyk
Y
•
Y Y Y
, , ,...
1 2
- zmienne i.i.d.
•
- jednorodny proces Poissona modelujący
pojawianie się szkód o intensywności
t
l
•
Łączna wartość odszkodowań za szkody
zaistniałe w okresie [0, t] wyraża się wzorem
S Y Y Y
t
=
1 2
...
t
+
+
+
N
Proces nadwyżki
• Proces nadwyżki jest modelem procesu
akumulacji środków własnych w firmie
ubezpieczeniowej
• Niech oznacza kapitał (nadwyżkę)
początkowy
• Niech oznacza wielkość składki zebranej w
jednostce czasu
• Proces nadwyżki definiuje się jako
u
c
U u c t S t
t
= +
Y
−
t
, 0
³
1
N
2009-05-12
Moment i prawdopodobieństwo
ruiny
• Jeżeli proces nadwyżki przyjmie wartość
ujemną, to znaczy, że suma wypłaconych
odszkodowań przekroczyła wpływy ze składek
powiększone o kapitał początkowy
• Moment ruiny definiuje się jako
T t U
=
inf 0: 0
t
{
³
<
}
• Prawdopodobieństwo ruiny definiuje się jako
y
( ) (
u t T t
=
P
<
)
Proces nadwyżki z czasem
dyskretnym
•
Proces nadwyżki obserwowany tylko w
momentach t = 0,1,2,3,… nazywa się
procesem nadwyżki z czasem dyskretnym
U u c n S n
n
= +
Y
−
n
, 0,1,2,...
=
•
Przy założeniu z prawa wielkich liczb z
prawdopodobieństwem 1 otrzymujemy
c S
£
E
1
lim /
n n
U n c S
® ¥
(
)
= −
E
1
£
0
•
czyli w tym przypadku
y
( )
u u T
: ,
y
(
+¥ =
) (
P
< ¥ =
)
1
Narzut bezpieczeństwa na składkę
netto
•
Przy założeniu dla pewnego
otrzymujemy
c S
>
E
1
q >
0
1c S
=
(
+
E
q
)
1
•
Współczynnik nazywamy narzutem
bezpieczeństwa (na składkę netto)
q >
0
•
Z własności złożonego rozkładu Poissona
otrzymujemy
c c
S Y
q
=
E E
− =
1 1
l
−
1
2
=
2009-05-12
Współczynnik dopasowania
•
Przy dodatnim narzucie bezpieczeństwa na
składkę netto istnieje dokładnie jedno
dodatnie rozwiązanie R równania
e M R e
Rc
=
( )
=
E
RS
1
S
1
które nazywa się współczynnikiem
dopasowania
•
Równoważny wzór definiujący współczynnik
dopasowania to
l
+
cR M R e
=
l
( )
=
E
l
RY
Y
Współczynnik dopasowania, c.d.
•
Zadanie: Udowodnić, że przy dodatnim
narzucie bezpieczeństwa na składkę netto
istnieje dokładnie jeden współczynnik
dopasowania
•
Zadanie: Obliczyć współczynnik dopasowania
w przypadku, gdy wysokość odszkodowania
wypłaconego w wyniku powstania pojedynczej
szkody Y ma rozkład
( )
Exp
b
Nierówność Lundberga
•
Zachodzi nierówność
y
( )
u e
−
£
Y
R u
•
Uzasadnienie: niech
oraz oznacza, że ruina nastąpiła przed
napłynięciem n+1. szkody oraz
wówczas
d y Y y y dy
P P
( )
=
(
Î
É
,
+
)
)
y
n
u
( )
y
n
u e
( )
£
Y
−
R u
−
1
y
( )
u
=
Ð Ð
y
(
u ct y dP y e dt
+
−
) ( )
l
−
l
t
n
n
−
1
0 0
0 0
exp
£
Ð Ð
¥ ¥
(
−
R u ct y dP y e dt
(
+
−
)
)
( )
l
−
l
t
=
e e e
cR
−
R u
Y
l
LJ
Y R R u
Y Y
=
−
l
+
3
¥ ¥
2009-05-12
Dokładny wzór na
prawdopodobieństwo ruiny
•
Dla każdego momentu czasu zachodzi
E E
e e e e
−
R U
Y
=
−
R u ct S
(
+ +
t
)
=
−
Ru Rct
−
E
R S
Y
t
t
l
t M R
(
( )
−
1
)
(
Rc M R
( )
)
t
=
e e e e e
−
Ru Rct
−
Y
=
−
Ru
− − +
l l
Y
=
e
−
Ru
•
Zachodzi dokładny wzór na prawdopodo-
bieństwo ruiny
E
Ç
e T u e
−
RU
T
|
< ¥
×
Y
y
( )
=
−
R u
Y
Równanie funkcyjne na
prawdopodobieństwo ruiny
•
Przy założeniu dla u<0 zachodzi
równanie
y
( )
1
u
=
y
( )
t
u u ct y dP y e dt
=
Ð Ð
¥ ¥
y
(
+
−
) ( )
l
−
l
0 0
•
Z powyższego równania otrzymujemy
c
y
'
u u u y dP y
=
y
( )
−
Ð
¥
y
(
−
) ( )
l
y
0
( )
Ð
u
(
) ( ) (
)
=
u u y dP y Y u
−
y
−
−
P
>
0
•
Zadanie: udowodnić powyższą formułę
Prawdopodobieństwo ruiny dla
rozkładu wykładniczego strat
•
Przy założeniu
różniczkując jeszcze raz otrzymane równanie
dostajemy równanie różniczkowo-całkowe
y
d y e dy p y dy
P
( )
=
b
−
b
=
( )
,
c
y
'' ' 0
( )
u u p u
=
y
( ) ( ) ( )
−
y
l
b y
Ð
u
( ) (
)
( )
+
z p x z dz p u
−
+
0
•
po zsumowaniu z wcześniejszym równaniem
tak aby wyeliminować całkę otrzymujemy
c
y
'' ' 0
( )
u u
+
qy
( )
=
l
4
É
Ù
( )
[ Pobierz całość w formacie PDF ]