TEORIA STANU NAPRĘŻENIA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TEORIA STANU NAPRĘŻENIA
1
1. WEKTOR NAPRĘŻENIA
ν
P
1
P
1
, P
2
-wektory s ł wewnętrznych w punktach
powierzchni
∆
F wokół punktu A
( )
∆
F
x
3
A
PPr
i
i
=
,
ν
r
∆
P
∆
P - suma sił wewnętrznych na powierzchni
∆
F
∞
∑∑
1
x
2
P
2
∆
PP P
= =
=
i
i
x
1
i
∆
F
średnia gęstość sił wewnętrznych na powierzchni
∆
F
∆
∆
P
F
naprężenie w punkcie A :
p
=
lim
∆
∆
P
F
ppr
=
( )
,
ν
funkcja wektorowa
∆
F
→
0
2. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE
zbiór wektorów naprężenia w ustalonym punkcie przy dowolnej płaszczyźnie przekroju
( )
r t
=
⇒ = ν
pp
wybieramy 3 szczególne płaszczyzny przekroju - prostopadłe do osi układu współrzędnych
x
3
x
2
pp
i
=ν
wektor naprężenia przynależny
płaszczyźnie prostopadłej do osi x
i
i
( )
i
ν
1
ν
i
wersory normalne płaszczyzn
prostopadłych do osi x
i
p
1
x
1
pp
i
=
i
(
σσσ
12 3
i
i
)
i
=
12 3
σσ
ij
=
( )
12 3
,
ij
=
, ,
funkcja skalarna 3 skalarów
macierz naprężenia

σσσ
σσσ
σσσ
11
12
13





T
σ
=
21
22
23
σ
11
,
σ
22
,
σ
33
- naprężenia normalne, pozostałe to napr. styczne

31
32
33

3. KONWENCJA ZNAKOWANIA NAPRĘŻEŃ
napręż. normalne
jest dodatnie,
jeżeli jest zgodnie skierowane z normalną
zewnętrzną płaszczyzny
napr. styczne
jest dodatnie, jeżeli:
1) normalna zewnętrzna płaszczyzny jest
zgodnie skierowana z osią układu, do
której jest ona równoległa
2) naprężenie styczne jest zgodnie
skierowane z osią układu, do której jest
ono równoległe,
lub gdy oba warunki są jednocześnie niespełnione.
G
σ
33
F
x
3
σ
32
σ
23
A
σ
31
σ
22
r
C
D
σ
13
E
x
2
σ
12
σ
21
x
1
σ
11
A
B
, ,
i
, ,
ij
xx x
,
12 3
TEORIA STANU NAPRĘŻENIA
2
4. TENSOR NAPRĘŻENIA
x
3
p
wektor napr.
n
a ściance o wersorze
normalnym
ν
∆
F
p
x
2
ν
p
=
(
p
,
p
,
p
)
ν1
ν2
ν3
C
p
i
wektory napr. na ściankach
∆
F
i
B
∆
F
1
p
=
(
i1
σ
,
,
σ
σ
)
i
i2
i3
∆
F
O
∆
F
3
∆
F
i
pole ścianki prostopadłej do osi x
i
(rzut ścianki na na płaszczyznę
∆
F
2
A
∆
F
prostopadłą do osi x
i
)
x
1
ν
α
ν1
α
ν2
α
ν3
=
(
, ,
)
∆
∆
F
F
I
=
cos kąta między ściankami = cos kąta między normalnymi do ścianek
∆
∆
F
F
i
=
s,
( )
ν
x
i
⇒
∆∆
F
i
=
F
s,
( )
ν
x
i
=
∆
F
α
ν
i
siły działające na ściankach
∆
F
i
∆
PpF
i
i
=
∆
Pp
=
warunek równowagi sił (zamknięty przestrzenny wielobok sił)
∆ ∆
∆
P
=
∆
P
1
+
∆
P
2
+
∆
P
3
⇒
pF p F p F p F
∆ ∆
=
11 2 2 3 3
+
∆
+
∆



p
p
p
ν
1
=
σα σα σα
σα σα σα
σα σα σα
11
ν
1
+
21
ν
2
+
31
ν
3
pp
=
11 2 2 3 3
α
ν
+
p
α
ν
+
p
α
ν
⇒
ν
2
=
12
ν
1
+
22
ν
2
+
32
ν
3
=
+
+
ν
3
13
ν
1
23
ν
2
33
ν
3
symetria macierzy naprężeń
σ
ij
=
σ
ji
p
ν
1
=
σα σα σα
11
ν
1
+
12
ν
2
+
13
ν
3
itd..........
konwencja sumacyjna
współrzędne wektora naprężenia na ściance o normalnej
ν
p
i
ν
=
σ α
i j
ν
j
⇒
pT
ν
σ
W wyniku pomnożenia wektora przez macierz otrzymujemy wektor, a zatem
macierz
naprężenia musi być tensorem.
5. TRANSFORMACJA TENSORA NAPRĘŻENIA
x
’
3
x
3
x
’
2
e
3
e
’
2
e
’
3

σσσ
σσσ
σσσ
11
12
13


σσσ
σσσ
σσσ
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′ ′
12
13









T
=
T
′ =
e
1
e
2
x
2
σ
12
2 2
2 3
σ
12
2 2
2 3
e
’
1

13
2 3
3 3


13
2 3
3 3

x
’
1
x
1
macierz przejścia
α
ij
= ′
cos
( )
ee
i j
,
I wiersz
α
11
= ′
cos
( )
ee
1 1
α
12
= ′
cos
( )
ee
1 2
α
13
= ′
cos
( )
ee
1 3
I kolumna
α
11
= ′
cos
( )
ee
1 1
α
21
= ′
cos
( )
ee
2 1
α
31
= ′
cos
( )
ee
3 1
siła działająca na ściance
∆
F
11
TEORIA STANU NAPRĘŻENIA
3
1. wiersze macierzy przejścia to współrzędne wersorów nowego układu wyrażone w ukł. starym
2. kolumny macierzy przejścia to współrzędne wersorów starego układu wyrażone w ukł. nowym
3. macierz ortonormalna wzg. wierszy i kolumn, tzn.
αα
αα
ik jk
ki k j

==
δ
ij

0
1
i j
i j
≠
=
4. prawo transformacji
′ σαασ
ij
ik
jl kl
6. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE
Poszukujem
y
takiej płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt, aby o
d
powiadający jej wektor
naprężenia
p
ν
miał taki sam kierunek jak wersor normalny płaszczyzny
ν
.
x
3
p
ν
ν
x
2
(
)
pppp
=
1
;
;
ν ν ν ν
2
3
ναα α
=
1
(
ν ν ν
;
2
;
3
)
O
x
1
σ
- miara wektora p
ν
Zauważmy, że utożsamiając kierunek wersora normalnego płaszczyzny z kierunkiem np. "1" osi
nowego układu, wektor naprężenia tworzący pierwszy wiersz 'nowego" tensora naprężenia
miałby niezerową tylko pierwszą składową - składową normalną. Byłaby ona największa
spośród wszystkich możliwych. Takie naprężenie
normalne
nosi nazwę naprężenia
głównego
,
a odpowiadająca mu płaszczyzna to płaszczyzna
główna
.
warunek kolinearności
p
ν
=
σν
⇒
p
i
ν
=
σα
ν
i
wektor naprężenia
pT
ν σ
=
ν
⇒
p
i
ν
=
σ α
i j
ν
j
zagadnienie własne
T
σ
νσν σα σα
= ⇒ =
ij
ν
j
ν
i
( )
−
ij
ν
j
= +
0
αα
ν ν
j
j
=
1 (war. jednostkowej dług. wersora)
Warunek konieczny istnienia rozwiązania ze wzg. na elementy macierzy przejścia
σσσ σ
σσσσ
σ σ σ σ
11
−
12
13
det
σδσ
ij
ij
− =
0
12
22
−
23
=
0
13
2 3
3 3
−
σ σ σ
3
− + − =
I
1
2
I
2
I
3
0
(równ. charakterystyczne)
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
σσ
, I
3
σσσ
σσσ
σσσ
11
12
13
11
12
11
13
22
23
I
1
σσ σ
, I
2
=
+
+
=
11
2 2
3 3
12
22
23
12
2 2
13
3 3
23
33
13
2 3
3 3
równanie charakterystyczne ma zawsze 3 pierwiastki rzeczywiste, które można
uporządkować
σ
1
>
σ
2
>
σ
3
każdej z wartości głównych odpowiada płaszczyzna główna, określona wersorem
normalnym
σ
1
⇒
ν α α α
1
(
11 12
,
,
13
)
σ
2
⇒
ν α α α
2
(
21 2 2
,
,
23
)
σ
3
⇒
ν α α α
3
(
31 32 33
,
,
)
σδσα
ij
=+ +
TEORIA STANU NAPRĘŻENIA
4
wersory określające płaszczyzny główne są ortonormalne, tzn.
νν
i
o
=

1
0
dla i j
dla i j
=
≠
νν ν ν ν ν ν ν ν
1
×=
2
3
2
× =
3
1
3
× =
1
2
dla dowolnego tensora naprężenia zawsze istnieją 3 wzajemnie prostopadłe naprężenia i
kierunki (płaszczyzny) główne.
procedura określania kierunków głównych, czyli zarazem macierzy przejścia do kierunków
głównych
( )
σσασασα
11
− +
11
12 12
+
13 13
0
=
np. dla
σ
=
σ
1
σα σ σα σα
12 11
+ −
( )
2 2
12
+
2 3 13
0
=
σα σα σ σα
13 11
+
2 3 12
+ −
( )
3 3
13
0
=
+
ααα
2
+ + =
2
2
1
(*)
11
12
13
1) wziąć którekolwiek 2 spośród 3 równań, kładąc w nich np.
α
13
= t
2) znaleźć
α
11
=
α
11
(t) ,
α
12
=
α
12
(t)
3) wyznaczyć parametr t z warunku " (*) "
4) obliczyć wartości
α
11
,
α
12
,
α
13
5) postąpić analogicznie dla
σ
2
6) wyznaczyć
ννν
3
=×
1
2
7. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
stan naprężenia, dla którego wszystkie składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x
1
, x
2
).
σ
22
σ
21
σ
12
tensor naprężenia
x
2
σ
11

σσ
σσ
0
0
000

11
12
x
1
=

σσ
σσ


σ
11






11
12
T
σ
=

12
2 2
σ
12
12
2 2


σ
21
σ
22
macierz przejścia
x
2
x
2
x
1
,
α
α
ij
=


−
cos sin
sin cos
αα
αα


x
1
naprężenia główne
′
σαασ
ij
ik
jl kl
+ przekształcenia
σ
,
=
σσ
11
+
2 2
±
1
2
( )
σσ σ
−
2
+
4
2
tg
α
=−
σ
σσ
12
12
11
2 2
12
2
12
−
22
1 2
pseudopłaski stan naprężenia - jak wyżej, ale
σ
33
≠
0. Rezultaty jak dla PSN, a trzecie
naprężenie główne
σ
3
=
σ
33
,
,
,
TEORIA STANU NAPRĘŻENIA
5
8. EKSTREMALNE NAPRĘŻENIA STYCZNE
Problem :
W punkcie A znany jest tensor naprężenia w osiach głównych. Jaką płaszczyzną
należy przekroić ciało w pkt. A, aby miara rzutu wektora naprężenia odpowiadającego tej
płaszczyźnie na nią samą była maksymalna?
ν
3
pppp
ν ν ν ν
=
1
(
;
2
;
3
)
wektor naprężenia
σ
ν
)
(
p
ν
ναα α
=
1
ν ν ν
;
2
;
3
wersor normalny
2
A
σ
ν
- miara rzutu wektora naprężenia p
ν
na normalną
ν
τ
ν
1
τ
ν
- miara rzutu wektora naprężenia p
ν
na płaszczyznę
σ
ν ν
= =
p
o
11 2 2 3 3
ν α
p
ν ν ν ν ν ν
+
p
α
+
p
α
p
ν
i
=
σα
i j
ν
j
⇒ =
p
ν
1
σ α
1
ν ν
1
p
2
=
σ α
2
ν
2
p
ν
3
=
σα
3
ν
3
Procedura rozwiązania
σσα σα σα
=
2
+
2
+
2
(1)
ν
1
ν
1
2
ν
2
3
ν
3
p
2
2 2 2
2
2
=+ ⇒ = −
στ
τ
p
σ
ν
ν ν
ν
ν
ν
2
2
2
2
2
2
2
(
2
2
2
)
2
τ σασασα σασασα
=
+
+
−
+
+
(2)
1
2
3
ν
1
ν
1
2
ν
2
3
ν
3
ν
1
ν
2
ν
3
+
warunek
ααα
ν ν
2
+ + =
2
2
1
(3)
1
2
ν
3
Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji (2) z warunkiem pobocznym (3)
1) z war. (3) wyeliminować np.
α
ν
3
2
i wstawić do funkcji (2)
∂τ
∂α
2
∂τ
∂α
2
ν
ν
2) warunki konieczne istnienia ekstremum
=
0
;
=
0
+ przekształcenia
ν
1
ν
2
Rozwiązanie :
Naprężenia styczne osiągają swoje ekstrema na płaszczyznach nachylonych
pod kątami 45° do płaszczyzn głównych.
3
ν
1
007070707
(
; .
; .
)
;
(
ν
2
00707 0707
;. ; .
−
)
ν
1
τ
ν
00 70 7
(
; .
±
; .
±
)
= ±
σσ
2
−
3
2
2
τ
ν
±
(
0 707 0 0 707
.
; ; .
±
)
= ±
σσ
1
−
3
2
1
ν
2
(
)
σσ
1
−
2
τ
ν
±
0 707 0 707 0
.
; .
±
;
= ±
2
9. KOŁA MOHRA
Problem :
W punkcie A znany jest tensor naprężenia w osiach głównych. Określić zbiór
rozwiązań (
σ
ν
,
τ
ν
) dla dowolnych płaszczyzn przekroju ciała, przechodzących przez pkt. A.
ν
σ
ν
3
pppp
ν ν ν ν
=
1
(
;
2
;
3
)
wektor naprężenia
p
ν
ναα α
=
1
(
;
;
)
wersor normalny
A
2
ν ν ν
2
3
τ
ν
σ
ν
- miara rzutu wektora p
ν
na
ν
1
τ
ν
- miara rzutu wektora p
ν
na płaszczyznę
[ Pobierz całość w formacie PDF ]