TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
1
1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
P
x
3
u
r
r
'
P
'
x
2
stan po deformacji
x
1
stan przed deformacją
położenie pkt. P przed deformacją
Pr P x x x
()
=
12 3
(
, ,
)
położenie pkt. P po deformacji
Pr P x x x
′ ′
=
′ ′ ′ ′
()
(
12 3
, ,
)
przemieszczenie punktu P
PP u r r
′
==
′
−
uxx i
uuxxx
i
=
′
−
i
i
=
123
,,
(
)
i
=
i
12 3
, ,
wektorowe pole przemieszczeń
uur
=
()
2. ZMIANA ODLEGŁOŚCI MIĘDZY PUNKTAMI
P
u
'
x
3
P
d
r
u + d u
r
Q
Q
'
r + d r
x
2
x
1
stan przed deformacją
stan po deformacji
położenie pkt. P po deformacji
Pr u
′ +
(
)
położenie pkt. Q po deformacji
Qr dr u du
′ + + +
(
)
kwadrat odległości między punktami P i Q przed deformacją
ds
2
2
= = + + =
dr
2
dx dx dx
2
2
dx dx
1
2
3
i
i
kwadrat odległości między punktami P
'
i Q
'
po deformacji
ruPQ rdrudu
++ =+ ++
' '
⇒
PQ dr du
' '
=+
ds
′ =+ = + + + + + = + +
2
dr du
2
( ) ( ) (
2
dx du
2
dx du
) ( )( )
2
dx du dx du
1
1
2
2
3
3
i
i
i
i
obliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem
- różniczka zupełna
du
=
∂
∂
u
x
i
dx u dx
=
i, j =1, 2, 3
i
j
i j
j
j
dx du
,
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
2
ds
′ = +
2
(
dx u dx dx u dx
i
i j
,
j
)(
i
+
i j
,
j
)
ds
′
− =
2
ds
2
2
,
u dx dx u u dx dx
ij i j
+
ij ik
,
,
j k
u dx dx u dx dx
ij
,
i j
=
ji
,
i j
ds
′
− =
ds u dx dx u dx dx u u dx dx
2
i j
,
i
j
+
j i
,
i
j
+
k i k j
,
,
i
j
ds
′
− = + +
2
ds
2
(
u
ij
,
u
ji
,
u u dx dx
ki kj
,
,
)
i
j
ds
′
− =
2
ds
2
2
e dx dx
∗
ij
i
j
e
∗
=
1
(
u
+
u
+
u
u
)
i
j
2
i
,
j
j
,
i
k
,
i
k
,
j
macierz stanu odkształcenia
( II rzędu, symetryczna )
Macierz stanu odkształcenia jest
TENSOREM
Dowód:
w "nowym " układzie
( )
xx x
′ ′ ′
, ,
, obróconym wzg. układu wyjściowego
ds
′ − = ′ ′ ′
2
ds
2
2
e dx dx
km
∗
k
m
dx
i
= ′
α
k i
dx
k
dx
j
=
α
j
dx
′
m
2
e dx dx
′ ′ ′ =
∗
2
e dx dx
∗
=
2
e
∗
αα
'
dx dx
'
km
k
m
ij
i
j
ij
ki mj
k
m
e
′ =
αα
ki mj
ij
e
∗
pr. transformacji tensora
3. ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE
wybieramy 2 włókna : PQ równoległe do osi x
1
i PR równoległe do x
2
. Wyznaczyć długości
tych włókien oraz kąt między nimi po odkształceniu .
P
R
x
2
P '
R '
β
12
Q
Q '
x
1
długości włókien PQ, PR i QR przed odkształceniem

PQ d x
PR d x
QR
=
=
=
ds
=

1
2


dx dx
2
+
2

1
2
długość włókna po odkształceniu ds
′ =
ds
2
+
2
e dx dx
ij
∗
i
j
długości włókien P
'
Q
'
, P
'
R
'
, Q
'
R
'
po odkształceniu

PQ dx
′′=
12
+
e
∗


1
11
ds
′
=

PR dx
′′
=
12
+
e
∗
2
22


( ) ( )
QR
′′
= +
12
e dx
∗
2
+ +
12
e dx
∗
2
+
4
e dx dx
∗
12

11
1
22
2
12
2
12 3
∗
km

TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
3
zmiana kąta między włóknami P
'
Q
'
i P
'
R
'
(tw. Carnota , "tw. cosinusów")
2
e
∗
cos
β
12
=
12
( )( )
∗
∗
12
+
e
12
+
e
11
2 2
cos
β
12
=
sin /
(
π β
2
−
12
)
2
e
∗

π

=
arc
sin
12
−
β
=
γ
12
12
2
( )( )
∗
∗
12
+
e
12
+
e
11
2 2
odkształcenia liniowe (względna zmiana długości włókna PQ)
ε
11
=
lim
dx
i
PQ PQ
PQ
′ ′ −
→
0
P
Q
i
ε
ii
=
lim
0
PQ PQ
PQ
′ ′ −
i
i
nie ma sumowania po "i"
dx
QP
→
→
i
i
x
i
i
ε
ii
=
lim

1 2
+ −
e
∗
1
 =+ −
1 2
e
1
ii
ii
QP
→
i
odkształcenia kątowe
ε
12
=
lim
dx
dx
1
22

π
−
β
12

→
→
0
0
1
2
P
Q
x
j
j
P '
Q
j
'
β
i j
1
22

π

ε
ij
=
lim

−
β
ij
 ⇒=
2
ε γ
ij
ij
QP
QP
→
→
Q
i
Q
'
i
i
j
x
i



2
e
∗



2
12 12
e
ε
ij
=
lim
1
2
arc
sin
ij
=
1
2
arc
sin
ij
( )( )
( )( )
QP
QP
→
→
e
e
i
12 12
+
e
∗
+
e
∗
+
ii
+
j j

ii
j j

j
4. RÓWNANIA GEOMETRYCZNE
związki między przemieszczeniami i odkształceniami
e
ij
=
1
2
(
u
ij
,
+ +
u
ji
,
u u
ki ki
,
,
)
ε
ii
=+ −
12 1
e
ii
ε
ij
=
1
2
arc
sin
2
12 12
e
ij
( )( )
+
e
+
e
ii
jj
ą to
nieliniowe równania geometryczne








TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
4
linearyzacja równań geometrycznych
założenie
:
pochodne przemieszczeń są wielkościami małymi
x
1
L / 2
x
2
f = L / 250
∂
∂
u
x
=≅ = ⇒

∂
∂
u
x


<<
2
∂
∂
u
x


∂
∂
u
x


≅
2
2
( )
0
L
/
250
2
0008
.

2
2
⇒
2
0
1
L
/
1
1
1
1
WNIOSEK :
kwadraty pochodnych przemieszczeń, jako małe wyższego rzędu można
pominąć.
odkształcenia liniowe
( )
( )
ε
+=+ ⇒+ +=+
1
2
1 2
e
2
1 2
ε ε
2
1 2
e
⇒
ε
ii
=
e
ii
ii
ii
ii
ii
ii
odkształcenia kątowe
2 e
ii
<< 1
⇒
ε
ij
=
1
2
arc
sin
2
e
ij
1
dla małych
α
arcsin
α
≅
α
⇒
ε
ij
=
e
ij
liniowe równania geometryczne - równania Cauchy'ego
ε
ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
,
ε
11
=
u
1 1
,
ε
2 2
=
u
2 2
,
ε
3 3
=
u
3 3
,
ε
12
=
1
2
(
uu
1 2
,
+
2 1
,
)
⇒ =
γ ε
12
2
12
ε
13
=
1
2
(
uu
1 3
,
+
3 1
,
)
⇒ =
γ ε
13
2
13
ε
23
=
1
2
(
u
2 3
,
+
u
3 2
,
)
⇒ =
γ ε
23
2
23

εεε
εεε
εεε
11
12
13







tensor odkształcenia
T
ε
=
12
2 2
2 3

13
2 3
3 3

5. KINEMATYCZNE WARUNKI BRZEGOWE
liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego ) - 6 równań różniczkowych cząstkowych
wzg. 3 nieznanych funkcji przemieszczeń
ε
ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
,
rozwiązanie ma postać :
u u
=+
o
u
s
i
i
i
u
i
o
- całka ogólna układu równań różniczkowych jednorodnych (opisuje stan
bezodkształceniowy
ε
ij
=0 - przemieszczenia punktów bryły sztywnej)
u
i
s
- całka szczególna układu równań różniczkowych niejednorodnych
x
j i
j i
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
5
elementarne przekształcenia algebraiczne i różniczkowe prowadzą do całki ogólnej w
postaci
uaxx
o
1
=+ +
2
3
udxf x
o
2
=− +
1
3
ugxf x
o
3
=− −
1
2
Ostatecznie otrzymujemy zatem rodzinę rozwiązań o 6 parametrach a, b, c, d, f i g.
Parametry te określa się z warunków wynikających ze sposobu podparcia konstrukcji.
Warunki te noszą nazwę
kinematycznych warunków brzegowych.
przykłady kinematycznych warunków brzegowych
x
2
h
x
1
=
h
A
x
2
h
x
1
=
h
B
x
2
h
x
1
=
h
C
A.
( )
1
0
,
=
0
u h
1
( )
0
,
− =
0
B.
( )
1
0
,
=
0
u h
1
( )
0
,
− =
0
u h
2
( )
0
,
− =
0
C.
( )
00 0
,
=
u
00 0
=
∂
∂
u
x
2
00 0
=
1
2
1
x
2
∂
x
1
x
1
∂
u
2
uh
uh
u
( )
,
( )
,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]