Termod

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WST
Ę
P DO TERMODYNAMIKI
Termodynamika jest działem fizyki, który zajmuje się statystycznym opisem zachowania się
układów duŜej ilości cząstek. Ciała makroskopowe składają się z ogromnej ilości cząstek (np.
rzędu liczby Avogadro N
A
=6.02*10
23
) i kaŜda z nich zachowuje się w indywidualny sposób.
Niemniej wyliczając wartości średnie dla tych ogromnych wielkich, otrzymujemy
zadziwiająco stabilny i powtarzalny sposób opisu własności ciał. Takimi uśrednionymi
parametrami dla całego gazu są np. ciśnienie, gęstość czy temperatura. Termodynamika jest
bardzo udanym opisem układów wielu cząstek na gruncie mechaniki klasycznej i fizyki
statystycznej. Jest ona równieŜ podstawą zrozumienia i ścisłego opisu funkcjonowania
silników cieplnych, lodówek, pomp cieplnych, pieców, kotłów itp. itp.
Kinetyczna teoria gazów
Z doświadczenia wiemy, Ŝe dla gazu (w przybliŜeniu tzw. gazu doskonałego) relacja między
zmiennymi opisującymi jego stan jest następująca:
pV =
n
RT
(1)
lub
pV
=
M
RT
(2)
m
gdzie
n
=
M
jest ilością moli gazu (M jest masą gazu, m jego masą molową), zaś R jest
m
uniwersalną stałą gazową, której wartość wynosi: R=8.314 J/(mol K)
Relacje powyŜsze wyraŜają
równanie gazu doskonałego
(zwane teŜ równaniem Clapeyrona).
Obliczenie ciśnienia gazu
y
v
x
x
W sze
ś
ciennym zbiorniku (o kraw
ę
dzi l) znajduje si
ę
gaz. Rozpatruj
ą
c zderzenie pojedynczej
cz
ą
stki gazu ze
ś
cian
ą
(zy) bierzemy pod uwag
ę
składow
ą
pr
ę
dko
ś
ci v
x
z
1
Rozpatrzmy zderzenia pojedynczej cząstki z tylną ścianą zbiornika. Pęd będziemy w
rozdziale tym oznaczać przez p’, aby uniknąć kolizji oznaczeń z ciśnieniem (p). Tak więc
zmiana pędu jakiej doznaje cząstka poruszająca się w kierunku –
x
, po zderzeniu spręŜystym
ze ścianą wynosi:
D
p
'
=
p
k
'
-
p
p
'
=
mv
x
-
(
-
mv
x
)
=
2
mv
x
ZauwaŜmy, Ŝe z drugiej zasady dynamiki wynika, Ŝe siła:
F
=
ma
=
m
dv
=
dp
'
, lub
dt
dt
F
@
D
p
'
(3)
D
t
Czas między dwoma zderzeniami z tą sama tylna ścianką wynosi:
D
t =
2
v
x
gdzie l jest krawędzią sześciennego (dla prostoty rozwaŜań) zbiornika.
A zatem siła F jaką cząstka wywiera na ściankę podczas jednego zderzenia wynosi:
F
@
D
p
'
=
mv
2
x
D
t
l
Teraz chcemy znaleźć całkowitą siłę - F
całk
- wywieraną na ściankę przez wszystkie cząstki
obecne w zbiorniku. Jeśli cząstki ponumerujemy wskaźnikiem „i” to siła ta wynosi:
F
=
∑
N
F
=
∑ ∑
N
D
p
'
=
m
N
v
2
x
=
m
(
v
2
x
+
v
2
x
+
....
+
v
2
x
)
(4)
i
calk
i
D
t
l
i
l
1
2
N
=
1
=
1
i
=
1
gdzie N jest całkowitą ilością cząstek w układzie. Ciśnienie wywierane na ściankę:
p
=
F
calk
=
m
∑
N
v
2
x
=
m
∑
N
v
2
x
(5)
l
2
l
3
i
V
i
i
=
1
i
=
1
gdzie V jest objętością zbiornika.
Na obecnym etapie rozwaŜań przydatne będzie obliczenie średniej wartości
v
, którą
oznaczymy jako
v
:
___
2
x
___
2
x
=
1
∑
=
v
2
x
N
i
i
1
A zatem:
N
___
∑
=
v
x
Nv
=
2
x
i
i
1
Wstawiając powyŜszy rezultat do Równ. 5 uzyskujemy:
p
=
m
∑
=
N
v
2
x
=
Nm
___
2
x
V
i
V
i
1
Definiując koncentrację cząstek (ilość cząstek w jednostce objętości):
n’ = N/V
, powyŜszy
wynik moŜemy takŜe przepisać jako:
2
i
i
2
x
v
N
2
v
p
=
n
'
m
v
___
2
x
=
r
v
___
2
x
(6)
gdzie
r
jest gęstością gazu (
r
=n’m).
ZauwaŜmy teraz, Ŝe:
v
2
=
v
2
x
+
v
2
y
+
v
2
z
a takŜe:
___
2
=
___
2
x
+
v
___
2
y
+
___
2
z
Ponadto, z powodu symetrii:
___
2
x
=
___
2
y
=
___
2
z
co daje w efekcie:
___
2
=
3
v
___
2
x
lub teŜ
___
2
x
=
1
___
2
.
3
Po uwzględnieniu powyŜszego wyniku w Równ. 6 otrzymujemy:
p
=
1
n
'
m
___
2
=
1
r
___
2
(7)
3
3
Jest to waŜny wynik otrzymany z bardzo prostego podejścia, jakim było rozwaŜenie
spręŜystych zderzeń cząstek gazu ze ściankami naczynia (kinetyczna teoria gazu).
Zdefiniujmy na koniec średnią prędkość kwadratową cząstek gazu:
___
2
v
=
v
(8)
śr
.
kw
.
Zgodnie z Równ.7 wynosi ona:
v
=
___
2
=
3
(9)
śr
.
kw
.
r
Widzimy, Ŝe całkowicie mikroskopowy parametr, jakim jest średnia prędkość kwadratowa
moŜna wyznaczyć przez makroskopowe parametry gazu jak ciśnienie i gęstość.
Kinetyczna interpretacja temperatury
Na podstawie Równ.7 moŜemy napisać:
p
=
1
r
v
___
2
=
1
M
___
2
lub
pV =
1
M
___
2
3
3
V
3
gdzie M jest całkowitą masa gazu, zaś V jego objętością. PowyŜszy rezultat moŜemy teŜ
przepisać jako:
pV
=
1
n
m
v
___
2
(10)
3
gdzie m jest masa molową, zaś n’ jest ilością moli.
3
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Porównajmy powyŜszy wynik z równaniem gazu doskonałego (Równ.2):
nRT
pV =
, zaś m jest masą całkowitą gazu.
Przyrównując prawe obu powyŜszych równań oraz mnoŜąc je przez 3/2 otrzymujemy:
m
1
m
___
2
=
3
RT
lub
1
N
m
___
2
=
3
RT
(11)
2
2
2
A
2
=N
A
m, gdze N
A
jest liczbą Avogadry, czyl liczbą cząsteczek zawartych w jednym
molu substancji. ZauwaŜmy na podstawie powyŜszego równania, Ŝe ś
rednia
energia
kinetyczna cz
ą
stek jednego mola gazu
wynosi:
m
3
RT
2
Wyliczmy teraz średnią energię kinetyczną przypadającą na jedna cząstkę. W tym celu
podzielmy obie strony Równ. 11 przez N
A
:
1
m
___
2
=
3
R
T
=
3
kT
2
2
N
2
A
Stała k=R/N
A
nazwana została stałą Boltzmanna. Powtórzmy uzyskany powyŜej rezultat:
Ś
rednia energia kinetyczna cz
ą
stki w temperaturze T wynosi
kT
2
3
:
E
=
1
m
___
2
=
3
kT
(12)
k
2
2
Równanie powyŜsze dostarcza równieŜ interpretacji temperatury:
___
Temperatura jest miar
ą
ś
redniej energii kinetycznej:
T
µ
E
k
Podajmy jeszcze wartości uŜytych stałych fizycznych:
N
A
=6.02*10
23
cząstek/mol
k=1.3*10
-23
J/(K*cząstka)
Zasada ekwipartycji energii
Widzieliśmy powyŜej, Ŝe średnia energia cząstki wynosi:
E
=
1
m
___
2
=
3
kT
k
2
2
ZauwaŜmy, Ŝe:
1
m
___
2
=
1
m
___
2
x
+
1
m
___
2
y
+
1
m
___
2
z
=
3
kT
2
2
2
2
2
Z powodu symetrii, Ŝadna z trzech osi układu współrzędnych nie jest wyróŜniona, a zatem:
4
gdzie: n’=m/
v
v
gdyŜ:
v
___
v
___
v
v
v
v
v
1
m
___
2
x
=
1
m
___
2
y
=
1
m
___
2
z
=
1
kT
(13)
2
2
2
2
Wynik ten moŜemy zinterpretować następująco. Średnia energia kinetyczna
cz
ą
stki
przypadająca
na jeden stopie
ń
swobody
(na jedną „składową ruchu”) wynosi:
E
/(
cząstka
*
s
.)
=
1
kT
(14)
k
2
przez „s.s.” oznaczyliśmy stopień swobody.
ZauwaŜmy równocześnie, Ŝe średnia energia kinetyczna
przypadaj
ą
ca na jeden mol
substancji
oraz na jeden stopień swobody wynosi:
E
/(
mol
*
s
.)
=
1
kT
*
N
=
1
RT
(15)
k
2
A
2
Z codziennego doświadczenia wiemy, Ŝe gdy zetkniemy ciało zimne z gorącym, to po jakimś
czasie temperatury obu ciał się wyrównają. Towarzyszy temu przekazanie części energii
kinetycznej cząstek, czyli energii wewnętrznej od ciała cieplejszego do zimniejszego. O
procesie tym mówi się takŜe, iŜ nastąpił przekaz energii „na sposób ciepła” , albo krócej, Ŝe
nastąpił przepływ ciepła. Ciała pozostają natomiast w równowadze, gdy posiadają tą sama
temperaturę.
Zerowa zasada termodynamiki
Je
ś
li dwa ciała A i B s
ą
w równowadze termicznej z trzecim ciałem C, to z faktu tego wynika,
Ŝ
ciała A i B tak
Ŝ
e b
ę
d
ą
w równowadze termicznej ze sob
ą
.
A
C
B
C
A
B
Zerowa zasada termodynamiki: je
ś
li A jest w równowadze termicznej z C, równocze
ś
nie B jest
tak
Ŝ
e w równowadze z C, to z tego wynika,
Ŝ
e A i B b
ę
d
ą
równie
Ŝ
ze sob
ą
w równowadze
termicznej.
Tym trzecim ciałem moŜe być np. termometr. Odczytując wskazania termometru dla ciał A i
B wiemy z góry czy będą one ze sobą w równowadze termicznej czy nie.
5
v
v
v
___
___
[ Pobierz całość w formacie PDF ]